22 / 7 dépasse π

22 / 7 dépasse π

Les preuves du célèbre résultat mathématique que le nombre rationnel 22 / 7 est supérieur à π remontent à l'Antiquité. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22 / 7> π, nécessitant uniquement des techniques élémentaires de calcul. Le but n'est pas d'abord de convaincre le lecteur que 22 / 7 est en effet plus grand que π; des méthodes de calcul systématiques de la valeur de π existent. Contrairement à certaines preuves élémentaires, le calcul fondé sur la preuve présentée ici est simple, son élégance résultant de ses liens avec la théorie des approximations diophantines. Stephen Lucas qualifie cette proposition de "l'un des plus beaux résultats liés à l'approximation de π". Julian Havil met fin à une discussion sur les fractions approchant π avec ce résultat, le décrivant comme "impossible de ne pas être mentionné" dans ce contexte.

0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi.

Les détails

Il reste de démontrer que l'intégral en effet evalue à la quantité désirée:

0\, <\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx
=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx (développer les termes du numérateur)
=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx (faire la division polymomiale, un aspect important de la formulation de la géométrie algébrique)
=\left.\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+ x^5- \frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{x}\,\right|_0^1 (integration définie)
=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\ (substituer un pour x, puis zéro pour x, et faire soustraire l'un de l'autre, utiliser arctan(1) = π/4)
=\frac{22}{7}-\pi. (addition)
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « 22 / 7 d%C3%A9passe %CF%80 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article 22 / 7 dépasse π de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • La preuve que 22 / 7 dépasse π — 22 / 7 dépasse π Les preuves du célèbre résultat mathématique que le nombre rationnel 22 / 7 est supérieur à π remontent à l Antiquité. Ce qui suit est une démonstration mathématique moderne que 22 / 7> π, nécessitant uniquement des techniques …   Wikipédia en Français

  • Pi — Pour les articles homonymes, voir Pi (homonymie). Si le diamètre du cercle est 1, sa circonférence est π. Pi[1 …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Fraction Continue — Exemple de développement infini en fraction continue En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou encore fraction continuée[1] est une expression de la forme  …   Wikipédia en Français

  • Fraction continue — Exemple de développement infini en fraction continue En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou encore fraction continuée[1] est une expression de la forme  …   Wikipédia en Français

  • Fraction continuée — Fraction continue Exemple de développement infini en fraction continue En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou encore fraction continuée[1] est une expression de la forme  …   Wikipédia en Français

  • Fractions continues — Fraction continue Exemple de développement infini en fraction continue En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou encore fraction continuée[1] est une expression de la forme  …   Wikipédia en Français

  • Fractions continuées — Fraction continue Exemple de développement infini en fraction continue En mathématiques, une fraction continue ou fraction continue simple ou encore fraction continuée[1] est une expression de la forme  …   Wikipédia en Français

  • Infini — Le symbole infini Le mot « infini » ( e, s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n a pas de limite en nombre ou en taille. Sommaire …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”