Exponentielle de base a

Représentation graphique de la fonction exponentielle de base e (en noir), de base 10 (en rouge) et de base 1/2 (en bleu)

En analyse réelle, la fonction exponentielle de base a est la fonction notée $exp_a\,$ qui, à tout réel $x\,$, associe le réel $a^x\,$. Elle n'a de sens que pour un réel $a\,$ strictement positif. Elle étend à l'ensemble des réels, la fonction, définie sur l'ensemble des entiers naturels, qui à l'entier $\,n$ associe $\,a^n$. C'est donc la version continue d'une suite géométrique.

Elle s'exprime à l'aide de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sous la forme

$\exp_a (x) = a^x = e^{x\ln(a)}\,$

Elle peut être définie comme la seule fonction continue sur $\scriptstyle \R$, prenant la valeur $\scriptstyle a$ en 1 et transformant une somme en produit.

Pour a différent de 1, c'est la réciproque de la fonction logarithme de base a. On appelle d'ailleurs ces fonctions parfois les fonctions antilogarithmes.

Les fonction exponentielles sont les seules fonctions dérivables sur $\scriptstyle \R$, proportionnelles à leur dérivée et prenant la valeur 1 en 0. Elle permettent de modéliser les phénomènes physiques ou biologique dans lesquels la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille de la population.

On trouve aussi le terme de fonctions exponentielles pour des fonctions dont l'expression est $\scriptstyle Na^x$

De la puissance à l'exponentielle

On considère un réel a strictement positif, il est facile de définir aⁿ comme le produit de a par lui-même n fois pour tout entier n supérieur ou égal à 1,

$\exp_a(n) = a^n = \underset{n \text{ fois}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$

puis de définir a⁰ = 1 et $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. On démontre aisément la propriété $a^{n+m}=a^n \times a^m$. Cette construction, assez naturelle, permet l'observation de phénomènes dits à croissance ou décroissance exponentielle.

Article détaillé : suite géométrique.

• Exemple 1 : Imaginons une population dont la taille augmente de 30% tous les 10 ans. Si on note $\scriptstyle N$ la population en 1900, il est facile de calculer la population en 1910, 1920, ... qui sera de $\scriptstyle N \times 1,3$, puis $\scriptstyle N\times 1,3^2$ ... pour aboutir au bout de n décennies à $\scriptstyle N \times 1,3^n$ (si le modèle est encore valide au bout de n décennies). Il est même possible de déterminer la population en 1890, 1880 qui sera de $\scriptstyle N \times 1,3^{-1}$, $\scriptstyle N \times 1,3^{-2}$ ....
• Exemple 2 : Le carbone 14 a une décroissance radioactive de période $\scriptstyle T = 5 730$ ans ce qui veut dire que tous les $\scriptstyle T$ ans, le nombre de particules radioactives a été divisé par 2. Si on mesure, à un instant donné, le nombre $\scriptstyle N$ de particules radioactives, au bout de n périodes, le nombre de particules radioactives n'est plus que de$\scriptstyle N\times (1/2)^n$.

La question qui se pose est de déterminer la taille de la population ou le nombre de particules radioactives entre deux mesures (la décennie pour la population ou la période pour la particule). Il s'agit donc de combler les trous entre les entiers. Une tentative peut être faite grâce à la racine nième : si la population a été multipliée en 10 ans par 1,3 , on cherche à déterminer par combien elle est multipliée chaque année. Elle est multipliée par un réel q tel que $\scriptstyle q^{10} = 1,3$, c'est-à-dire $\scriptstyle q=\sqrt[10]{1,3}$ que l'on note $\scriptstyle 1,3^{1/10}$.

On est donc capable de définir $\scriptstyle a^r$ pour des exposants non entiers :

$\exp_a(1/q)=a^{1/q} = \sqrt[q] a$

$\exp_a(p/q)=a^{p/q} = (\sqrt[q] a)^p = \sqrt[q]{a^p}$.

On a ainsi comblé les trous et défini $\scriptstyle a^r$ pour tout r rationnel. Pour définir $\scriptstyle a^x$ pour tout réel x, il faut ajouter un argument de continuité, tout réel $\scriptstyle x$ est aussi proche que l'on veut d'un rationnel $\scriptstyle p/q$, la valeur de $\scriptstyle a^x$ sera alors proche de $\scriptstyle a^{p/q}$.

Cette idée intuitive de ce que pourrait être $\scriptstyle a^x$ apparaît très tôt — en même temps que la notation exponentielle, c'est-à-dire dès le XVII^e siècle^[1]. Mais il faudra attendre les siècles suivants pour voir en $\scriptstyle x \mapsto a^x$ :

• une fonction ;
• vérifiant $\scriptstyle a^{x+y}=a^xa^y$, c'est-à-dire transformant une somme en produit ;
• continue ;
• réciproque de la fonction logarithme (qui transforme un produit en somme),
• dérivable et dont la dérivée est proportionnelle à la fonction.

Définitions

Il existe plusieurs points d'entrée possible pour la définition de la fonction exponentielle : par ses propriétés algébriques (transforme une somme en produit) , par la propriété de sa dérivée (dérivée proportionnelle à la fonction), ou par ses relations avec la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien.

Par la propriété algébrique

Définition — On appelle fonction exponentielle réelle, toute fonction continue de R dans R^* transformant une somme en produit, c'est-à-dire toute fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle

$\forall(u,v)\in \mathbb R : f(u+v)=f(u)\cdot f(v)$.

En notant a la valeur de f(1), la fonction f est appelée exponentielle de base a et se note exp _a

Une telle fonction est appelée un morphisme continu du groupe additif (R,+) dans le groupe multiplicatif (R^*, ×).

On remarque que la relation

$f(u)=f\left(2\frac u2\right) =\left[ f\left(\frac u2\right)\right]^2$

assure que la fonction est toujours à valeurs dans l'ensemble des réels strictement positifs

Puis la relation

$f(u)=f(u+0)=f(u)\times f(0)$

donne pour seule valeur possible pour f(0) la valeur 1 car f(u) ne peut être nul.

Si on note f(1) = a, des considérations analogues à celles développées dans la section précédente permettent d'écrire successivement

f(n) = aⁿ = exp _a(n) , pour tout n entier naturel puis relatif,

$f\left(\frac 1q\right) = \sqrt[q]a = \exp_a\left(\frac 1q\right)$ , pour tout q entier naturel non nul

$f\left(\frac pq\right) = \sqrt[q]a^p=\exp_a\left(\frac pq\right)$

La valeur de f(x) pour x irrationnel s'obtient par prolongement par continuité.

L'existence d'une telle fonction provient de la possibilité de prolonger par continuité une fonction définie sur Q à une fonction définie sur R en conservant ses propriétés algébriques. La construction prouve l'unicité de la fonction vérifiant l'équation fonctionnelle

$\forall(u,v)\in \mathbb R : f(u+v)=f(u)\cdot f(v)\qquad f(1)=a$.

On prouve qu'alors f est dérivable et vérifie l'équation différentielle :

$f'(x)=f'(0)\cdot f(x)\qquad f(0)=1$.

Démonstration

Pour démontrer qu'une fonction continue transformant une somme en produit est nécessairement dérivable, on peut s'appuyer sur le fait qu'une fonction continue possède des primitives. Si on note F une primitive de f, on peut écrire

$\int_0^1f(x)\cdot f(t)\mathrm dt = f(x)\int_0^1f(t)\mathrm dt =f(x)\cdot (F(1)-F(0))$

mais aussi

$\int_0^1f(x)\cdot f(t)\mathrm dt = \int_0^1f(x+t)\mathrm dt = F(x+1) - F(x)$

la fonction f étant une fonction strictement positive, F est strictement croissante et F(1) − F(0) est alors non nul. En confrontant les deux égalités, on peut écrire

$f(x) = \frac{F(x+1)-F(x)}{F(1)-F(0)}$

Ce qui prouve que, f s'exprimant comme combinaison linéaire de fonctions dérivables, f est dérivable.

En dérivant l'égalité

$f(x+u) = f(x)\cdot f(u)$

par rapport à x, on obtient

$f'(x+u)=f'(x)\cdot f(u)$

puis en prenant x égal à 0

$f'(u)=f'(0)\cdot f(u)$

On prouve aussi que la continuité de la fonction en un seul point associée à la propriété algébrique assure sa continuité sur tout R.

À l'aide de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien

Définition —  Soit a un réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base la fonction définie sur R par

$f(x)=e^{x\ln(a)}\,$

où $x\mapsto e^x$ est la fonction exponentielle et ln la fonction logarithme népérien.

Cette fonction est bien continue, transforme une somme en produit et prend la valeur $a\,$ en 1.

Par une équation différentielle

Définition —  On appelle fonction exponentielle toute fonction dérivable vérifiant l'équation différentielle

$f'=kf \qquad f(0) = 1$

où k est un réel quelconque.

Une telle équation définit f de manière unique, k correspond alors à la valeur de la dérivée de f en 0. On montre qu'une telle fonction transforme toujours une somme en produit, donc que les deux définitions coïncident.

Démonstration

On utilise les propriétés supposées déjà connues de la fonction exponentielle et on montre $f:x\mapsto \exp(kx)$ est solution de l'équation différentielle et que c'est la seule.

La fonction f est solution de l'équation différentielle

f(x) = exp(kx)

donc

$f'(x)=k\cdot \exp'(kx) = k\cdot \exp(kx)=k\cdot f(x)$

et

$f(0)=\exp(k\cdot 0)=\exp(0)=1$

la fonction est l'unique solution au problème

On suppose qu'il existe une autre fonction f₁ solution de l'équation et on étudie $h_1=\frac {f_1}{f}$

$h_1'=\dfrac{f_1'f-f_1f'}{f^2}=\dfrac{kf_1f-f_1kf}{f^2}=0$

La fonction h₁ est donc constante

$h_1(0)=\frac{f_1(0)}{f(0)}=1$

La fonction est donc constante égale à 1, ce qui assure que f₁ = f

La propriété algébrique est conservée

On pose f₂(x) = f(x + u) et l'on dérive

$f_2'(x)=f'(x+u)=k\cdot f(x+u)=k\cdot f_2(x)$

On pose alors $h_2=\frac {f_2}{f}$ et par un raisonnement analogue, on montre que h₂ est constante

$h_2(0)=\frac{f_2(0)}{f(0)}=f(u)$

donc $\frac{f(x+u)}{f(x)}=f(u)$ soit encore$f(x+u)=f(x)\cdot f(u)$.

Comme réciproque des fonctions logarithmes

Définition —  Soit a un réel strictement positif, différent de 1. La fonction logarithme de base a est une bijection de R*₊ dans R. On appelle fonction exponentielle de base a la bijection réciproque de la fonction logarithme de base a

$\exp_a(x) = y \Leftrightarrow x=\log_a(y)$

pour tout réel x et tout réel y strictement positif.

La fonction logarithme étant continue, transformant un produit en somme et prenant la valeur 1 en a, sa bijection réciproque est continue, transforme une somme en produit et prend la valeur a en 1.

Propriétés

Propriétés algébriques

En utilisant la fonction logarithme népérien ln, on peut définir pour tout a > 0 la fonction exponentielle de base a notée exp _a ou $x\mapsto a^x$, par :

$\forall x,\ a^x = \exp( x \ln(a)) = e^{x \ln(a)}$.

Les fonctions exponentielles « transforment une somme en un produit », on en déduit les propriétés :

a⁰ = 1

a¹ = a

$a^{x + y} = a^x\cdot a^y$

$a^{x y} = \left( a^x \right)^y$

$\frac1{a^x} = \left(\frac1a \right)^x = a^{-x}$

$a^x\cdot b^x = (a b)^x$

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

Elles sont valables pour tous réels strictement positifs a et b et pour tous réels x et y.

Étude de fonction

La fonction exponentielle de base a est dérivable sur R et sa dérivée a pour expression

$\exp_a'(x)=\ln(a) \exp_a(x)\,$

Puisque la fonction exponentielle est toujours positive, le signe de sa dérivée ne dépend que du signe de ln(a). La fonction est donc strictement croissante lorsque la base a est strictement pus grande que 1, elle est strictement décroissante quand la base est inférieure à 1 et constante si on a pris pour base a=1.

Les limites de la fonction exponentielle de base a dépendent de la position de a par rapport à 1

• si a > 1 $\lim_{x \to + \infty}a^x=+ \infty$ et $\lim_{x \to - \infty}a^x=0$
• si a < 1 $\lim_{x \to + \infty}a^x=0$ et $\lim_{x \to - \infty}a^x=+\infty$

La fonction exponentielle a un comportement prévisible par rapport à la fonction puissance : en cas d'indétermination en $+ \infty$ c'est l'exponentielle qui l'emporte :

pour tout a > 1 et tout α strictement positif, $\lim_{x \to + \infty}\frac{a^x}{x^{\alpha}}=+ \infty$

Notes et références

1. ↑ Leibniz n'hésite pas à utiliser la notation $\scriptstyle a^x$ sans avoir une idée claire de ce que vaudrait $\scriptstyle a^{\sqrt2}$