Espace vectoriel quotient

Espace vectoriel quotient

En algèbre linéaire, l'espace vectoriel quotient E/F d'un espace vectoriel E par un sous-espace vectoriel F est la structure naturelle d'espace vectoriel sur l'ensemble quotient de E par la relation d'équivalence : v est en relation avec w si et seulement si vw appartient à F.

C'est donc l'ensemble des classes [v]=v+F, où v parcourt E, muni des lois suivantes :

L'application v\mapsto [v] est une application linéaire surjective dont le noyau est F.

En premier lieu, les espaces quotients interviennent dans le théorème de factorisation en algèbre linéaire. Toute application linéaire f:E\rightarrow G se factorise comme la composée de la sujection linéaire E\rightarrow E/\ker f par l'injection linéaire E/\ker f\rightarrow G. Si F est inclus dans ker f alors il existe une application linéaire g:E/F\rightarrow G, telle que f soit la composée de l'application quotient E\rightarrow E/F et de g. Autrement dit, l'application quotient E\rightarrow E/F est l'objet initial de la catégorie des applications linéaires f:E\rightarrow G dont le noyau contient F.

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