Dodécaèdre régulier

Dodécaèdre régulier
Type	Polyèdre régulier
Faces	Pentagone
Éléments :  · Faces  · Arêtes  · Sommets  · Caractéristique	12 30 20 2
Faces par sommet	3
Sommets par face	5
Isométries	Dual	Icosaèdre
Propriétés	Deltaèdre régulier et convexe
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Un dodécaèdre régulier est un solide composé de 12 faces. Le préfixe dodéca-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces. Un dodécaèdre régulier est un solide de Platon composé de faces pentagonales, dont 3 se rejoignent à chaque sommet.

Le groupe des isométries directes du dodécaèdre régulier est isomorphe à A₅ (groupe alterné sur 5 éléments). Le groupe de ses isométries est isomorphe à $A_5 \times Z/2Z$.

Les coordonnées canoniques pour un dodécaèdre centré sur l'origine :

$(0, \pm \frac{1}{\varphi}, \pm \varphi)$,

$(\pm \frac{1}{\varphi}, \pm \varphi, 0)$,

$(\pm \varphi, 0, \pm \frac{1}{\varphi})$,

$(\pm1, \pm1, \pm1)$,

où $\varphi = {{1+ \sqrt5} \over 2}$ est le nombre d'or.

Les coordonnées du centre des arêtes :

$(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\varphi}{2}, \pm \frac{\varphi + 1}{2})$,

$(\pm \frac{\varphi + 1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{\varphi}{2})$,

$(\pm \frac{\varphi}{2}, \pm \frac{\varphi + 1}{2}, \pm \frac{1}{2})$,

$(0, \pm \varphi, 0)$,

$(\pm \varphi,0, 0)$,

$(0, 0, \pm \varphi)$,

Si a est la longueur d'une arête :

La surface est égale à :

$A=3\sqrt{25+10\sqrt5}a^2=3\sqrt{5(3+4\varphi)}a^2$

et le volume à :

$V=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}(15+7\sqrt5)a^3=(2+\begin{matrix}{7\over2}\end{matrix}\varphi)a^3$

L'angle dièdre entre deux faces vaut :

$\arccos\frac{-1}{\sqrt{5}} = \arccot-\begin{matrix}{1\over2}\end{matrix}$

soit environ 116°33'54.

Patron du dodécaèdre régulier

Le squelette du dodécaèdre régulier, l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes, forme un graphe appelé graphe dodécaédrique.

Autres dodécaèdres remarquables

Article détaillé : Dodécaèdre.

• Le dodécaèdre rhombique
• Le triakitétraèdre
• Le disphénoïde adouci

Archéologie

• Le dodécaèdre romain