Différence finie

En mathématique, une différence finie est une expression de la forme f(x + b) − f(x + a). (où f est une fonction numérique) ; la même expression divisée par b − a s'appelle un taux d'accroissement (ou taux de variation), et il est possible, plus généralement, de définir de même des différences divisées. L'approximation des dérivées par des différences finies joue un rôle central dans les méthodes des différences finies utilisées pour la résolution numérique des équations différentielles, tout particulièrement pour les problèmes de conditions aux limites.

Les opérateurs mettant en jeu des différences finies, appelés opérateurs de différence, font l'objet d'une branche de l'analyse mathématique possédant de nombreux points communs avec la théorie des opérateurs différentiels ; certaines de ces analogies ont été systématisées et exploitées par le calcul ombral.

Opérateurs de différence finie

On considère en général uniquement les différences « en avant », « en arrière » et « centrées ».

L'opérateur de différence avant, Δ_h, est défini par

$\Delta_h[f](x) = f(x + h) - f(x), \$ où h est le plus souvent une constante, qu'on appelle le pas.

De même, l'opérateur de différence arrière, $\nabla_h$, est défini par

$\nabla_h[f](x) = f(x) - f(x-h). \$

Enfin, l'opérateur de différence centrée, δ_h, est défini par

$\delta_h[f](x) = f(x+\tfrac12h)-f(x-\tfrac12h). \$

Relation avec les dérivées

Le nombre dérivé d'une fonction f en un point x est défini par la limite

$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$

Si h a une valeur fixée (non nulle), le terme de droite est

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\Delta_h[f](x)}{h}.$

Ainsi, la différence avant divisée par h approxime le nombre dérivé quand h est petit. L'erreur de cette approximation peut être déterminée à l'aide de la formule de Taylor. Supposant que f est continument dérivable,

$\frac{\Delta_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0).$

La même formule est valable pour la différence arrière :

$\frac{\nabla_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h).$

Cependant, la différence centrale donne une approximation plus précise ; son erreur est proportionnelle au carré du pas (si f est de classe $\mathcal{C}^2$) :

$\frac{\delta_h[f](x)}{h} - f'(x) = O(h^{2}) . \!$

Différences d'ordre supérieur

De manière analogue, on peut obtenir des approximations de dérivées d'ordre supérieur. Ainsi, appliquant la formule de différence centrale précédente à la dérivée de f' en x, et utilisant les différences centrales pour f'(x + h / 2) et f'(x − h / 2), on obtient une approximation (par différences centrales) de la dérivée seconde de f:

$f''(x) \approx \frac{\delta_h^2[f](x)}{h^2} = \frac{f(x+h) - 2 f(x) + f(x-h)}{h^{2}} .$

Plus généralement, les différences avant, arrière et centrale d'ordre n sont respectivement données par

$\Delta^n_h[f](x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x + (n - i) h),$

$\nabla^n_h[f](x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f(x - ih),$

$\delta^n_h[f](x) = \sum_{i = 0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} f\left(x + \left(\frac{n}{2} - i\right) h\right).$

On verra (dans le paragraphe consacré au calcul symbolique des différences) que la notation $\Delta_h^n$ correspond au n-ème itéré de Δ_h, c'est-à-dire que$\Delta_h^n=\Delta_h\circ\Delta_h\circ\dots\circ\Delta_h$ (n fois).

Il faut remarquer que dans le cas des différences centrales, pour tout n impair, h est multiplié par des non-entiers; ce qui peut être un problème dans des applications où cela change l'intervalle de discrétisation ; dans ce cas, une solution peut être de prendre la moyenne de δⁿ[f](x − h / 2) et de δⁿ[f](x + h / 2).

La relation entre ces différences itérées et les dérivées d'ordre correspondant est très simple :

$\frac{d^n f}{d x^n}(x)$ $= \frac{\Delta_h^n[f](x)}{h^n}+O(h)$ $= \frac{\nabla_h^n[f](x)}{h^n}+O(h)$ $= \frac{\delta_h^n[f](x)}{h^n} + O(h^2).$

Les différences d'ordre supérieur peuvent être également utilisées pour obtenir de meilleures approximations. Comme on l'a vu, les différences du premier ordre approximent les dérivées (premières) à un terme d'ordre h près. Mais la combinaison

$\frac{\Delta_h[f](x) - \frac12 \Delta_h^2[f](x)}{h} = - \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}$

est une approximation de f'(x) à un terme d'ordre h² près ; ceci peut se montrer en développant l'expression précédente par la formule de Taylor, ou en utilisant le calcul symbolique des différences finies, qui sera exposé plus bas.

Ces différences itérées possèdent des propriétés formelles utiles  :

• Pour tous k et n entiers positifs

$\Delta^n_{kh} (f, x) = \sum\limits_{i_1=0}^{k-1} \sum\limits_{i_2=0}^{k-1} ... \sum\limits_{i_n=0}^{k-1} \Delta^n_h [f](x+i_1h+i_2h+...+i_nh).$

• Formule de Leibniz :

$\Delta^n_h (fg, x) = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta^k_h [f](x) \Delta^{n-k}_h[g](x+kh).$

Il est enfin possible d'utiliser les différences itérées pour approximer des dérivées de tout ordre, et même d'employer un nombre de termes dissymétrique autour de la valeur centrale, ce qui est utile lorsqu'on effectue des calculs sur une grille, pour compenser les effets de bord ; les détails sont analysés dans cette série de notes (en).

Méthodes des différences finies

Article détaillé : méthode des différences finies.

En analyse numérique, une importante application des différences finies est la résolution numérique des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles : l'idée est de remplacer les dérivées apparaissant dans l'équation par des différences finies qui les approximent. Les diverses méthodes qui en résultent sont appelées méthodes des différences finies.

De nombreuses applications de ces méthodes se rencontrent en théorie du calcul numérique, ainsi que dans des disciplines scientifiques très variées, telles que la mécanique des fluides, et ses applications à la météorologie ou à l'aérodynamique.

Le calcul symbolique des différences finies

L'opérateur de différence avant envoie la fonction f vers Δ_h[f]. Cet opérateur vérifie Δ_h = T_h − I, où T_h est l'opérateur de translation de pas h, défini par T_h[f](x) = f(x + h), et I est l'identité (I[f] = f, et I = T₀). Δ_h est un opérateur linéaire, et il satisfait à la règle du produit (on dit parfois que c'est une dérivation; voir aussi à ce sujet l'article corps différentiel). Les opérateurs de différence arrière et centrale obéissent à des règles similaires.

On a $\Delta^n_h = [T_h-I]^n$, $\nabla^n_h = [I-T_{-h}]^n$, et $\delta^n_h = [T_{h/2}-T_{-h/2}]^n$, expressions qui peuvent se développer par la formule du binôme (appliquée à l'algèbre des opérateurs), puisque T_h et T_k commutent. On vérifie alors que les formules données plus haut pour les différences d'ordre supérieur coïncident avec ces développements, ce qui justifie les notations choisies.

Appliquant le théorème de Taylor (par rapport à h), on obtient

$\Delta_h = hD + \frac12 h^2D^2 + \frac1{3!} h^3D^3 + \cdots = \mathrm{e}^{hD} - 1,$

où D désigne l'opérateur de dérivation usuel, envoyant f vers sa dérivée f'. Inversant (formellement) l'exponentielle, on peut donc penser que

$hD = \log(1+\Delta_h) = \Delta_h - \frac12 \Delta_h^2 + \frac13 \Delta_h^3 + \cdots. \,$

Cette formule est correcte quand on l'applique à une fonction f polynômiale, car alors la série se réduit à une somme finie. En revanche, même si f est analytique, il n'est pas garanti que la série converge : ce pourrait n'être qu'un développement asymptotique. Elle peut cependant être utilisée pour obtenir des approximations plus précises de la dérivée de f. Ainsi, les deux premiers termes de la série donnent l'approximation du second ordre à f'(x) mentionnée à la fin de la section sur les différences d'ordre supérieur.

On a des formules analogues pour les différences arrière et centrale :

$hD = -\log(1-\nabla_h) \quad\mbox{et}\quad hD = 2 \, \operatorname{arg sh}(\tfrac12\delta_h).$

Toutes ces formules se généralisent encore à celles du calcul ombral et à d'autres formules de l'analyse combinatoire ; ainsi, l'opérateur inverse de l'opérateur de différence avant est celui de somme indéfinie^[1], ce qui a permis à Lagrange une "démonstration" abstraite de la formule d'Euler-Maclaurin, en l'interprétant comme l'inverse symbolique de la formule de Taylor^[2].

Généralisations

Une différence finie généralisée est d'habitude définie par

$\Delta_h^\mu[f](x) = \sum_{k=0}^N \mu_k f(x+kh),$

où $\mu = (\mu_0,\ldots,\mu_N)$ est le vecteur de coefficients qui lui est associé. Une différence infinie en est une généralisation supplémentaire, où la somme finie précédente est remplacée par une série (infinie). Une autre sorte de généralisation consiste à faire dépendre les coefficients μ_k du point x : μ_k = μ_k(x), on parle alors de différences finies pondérées ; on peut aussi faire dépendre le pas h du point x : h = h(x). Toutes ces généralisations sont utiles pour construire différents modules de continuité^[3].

Différences finies à plusieurs variables

Il est possible de calculer des différences finies dans le cas de fonctions à plusieurs variables ; elles sont l'analogue discret des dérivées partielles. On obtient ainsi les approximations suivantes :

$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=f_{x}(x,y) \approx \frac{f(x + h,y) - f(x-h,y)}{2h} \$

$\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=f_{y}(x,y) \approx \frac{f(x,y + k) - f(x,y-k)}{2k} \$

$\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y)=f_{xx}(x,y) \approx \frac{f(x + h,y) - 2 f(x,y) + f(x-h,y)}{h^2} \$

$\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y)=f_{yy}(x,y) \approx \frac{f(x,y + k) - 2 f(x,y) + f(x,y-k)}{k^2} \$

$\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y)=f_{xy}(x,y) \approx \frac{f(x+h,y + k) - f(x+h,y-k) - f(x-h,y+k) + f(x-h,y-k)}{4hk} \$

Notes

1. ↑ Voir pour l'instant l'article indefinite sum(en).
2. ↑ Joseph-Louis Lagrange, Œuvres, vol 3, p.441 et suivantes
3. ↑ Voir pour l'instant l'article modulus of continuity (en).

Références

• William F. Ames, Numerical Methods for Partial Differential Equations, Section 1.6. Academic Press, New York, 1977. ISBN 0-12-056760-1.
• Francis B. Hildebrand, Finite-Difference Equations and Simulations, Section 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1968.
• Boole, George, A Treatise On The Calculus of Finite Differences, 2^nd ed., Macmillan and Company, 1872. [See also: Dover edition 1960].
• Robert D. Richtmyer et K. W. Morton, Difference Methods for Initial Value Problems, 2^nd ed., Wiley, New York, 1967.

Voir aussi

• Différences divisées

Liens externes

• Méthode des différences finies

(les liens suivants renvoient pour l'instant vers des sites anglophones)

• Finite Difference Method
• Finite Difference Method for Boundary Value Problems
• Table of useful finite difference formula generated using Mathematica
• Finite Calculus: A Tutorial for Solving Nasty Sums

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Finite difference » (voir la liste des auteurs)