Basofactorielle

La basofactorielle d'un nombre réel a en base q se note a!q. C'est le produit de tous les réels strictement positifs espacés de q unités compris entre 1 et le plus grand multiple de q inférieur à a − 1, qui sont ensuite multipliés par a, soit :

Définition

Cas où a-1\equiv 0 \pmod{q}

\forall a\in [1;+\infty[,\forall q\in \mathbb{R}_+^*,a-1 \equiv 0 \pmod{q}

a !_q=1(1+q)(1+2q)(1+3q)\times\cdots\times (a-q)\times a

On peut aussi exprimer la fonction basofactorielle ainsi :

a!_q=\displaystyle\prod_{i=0}^{\frac{a-1}{q}}(1+iq)


Bases remarquables :

  • Pour q = 0,1 et a=\dfrac{k}{10} avec k\in\mathbb{N}^*, on peut établir une égalité liant basofactorielle et factorielle commune :
a!_{0,1} = (10a)! \times \dfrac{10^{9 - 10a}}{9!}

Ou plus généralement pour q = 10 n et a=\dfrac{k}{10^n} avec (k;n)\in\mathbb{N}^*\times\mathbb{N} on a :

a!_{10^{-n}} = (10^na)! \times \dfrac{10^{10^n-1 - 10^na}}{9!}
  • La fonction factorielle commune n'est en réalité qu'une fonction basofactorielle de base q = 1.

Généralisation

Lorsque a − 1 n'est pas divisible par q, la précédente formule ne suffit plus pour les cas comme

2,6!_{0,7}=1\times 1,7\times 2,4\times 2,6


On définit donc la fonction basofactorielle en base q en utilisant la fonction partie entière inférieure x\longmapsto \lfloor x\rfloor par :

a!_q=\displaystyle\left(\prod_{k=0}^{\left\lfloor\frac{a-1}{q}\right\rfloor}(1+kq)\right)\times a



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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Basofactorielle de Wikipédia en français (auteurs)

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