Base canonique

Dans un espace vectoriel, une base canonique est une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de {}^{\R^n}, de la base canonique de l'espace vectoriel des matrices ou de celui des polynômes. La propriété spécifique de ces bases canoniques est que pour tout vecteur v de l'espace, les coordonnées de v dans la base canonique sont données par les composantes mêmes (coefficients) qui consituent v.

Sommaire

Dans Kn\mathbb K^n

Définition

Soit {}^{\mathbb K} un corps commutatif et n un entier naturel.

La base canonique de {}^{\mathbb K^n} se compose des vecteurs e_i\, (i variant de 1 à n) définis ainsi :

Pour i variant de 1 à n
e_i = ( \delta_{1,i} , \delta_{2,i} , \cdots , \delta_{n,i} ).

\delta_{1,i}\, désigne le symbole de Kronecker :

\delta_{ij} = \begin{cases} 
1_\mathbb K& \text{si } i=j  \\ 
0_\mathbb K& \text{si } i \ne j \end{cases}

Où le 0 désigne le neutre de la première loi et le 1 celui de la seconde.

Il est important de se rappeler qu'une base a autant de vecteurs que la dimension de l'espace vectoriel.

Exemple

Dans {}^{\R^3} la base canonique est ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)).

En régle générale la base canonique est définie orthonormée, mais cela ne vaut que pour le produit scalaire canonique. De plus, les coordonnées d'un point (en l'absence de précision) sont données par rapport à cette base, et le produit vectoriel est fait implicitement en déclarant la base canonique directe.

Polynômes

Article détaillé : polynôme formel.

Dans l'anneau des polynômes sur un corps K, vu comme espace vectoriel sur K, la base canonique est la famille des monômes (X^n)_{n\in\N}.

Cette base est infinie. Comme pour toute base d'un espace vectorial, tout vecteur (dans cette situation donc tout polynôme) s'écrit comme une combinaison linéaire faisant intervenir un nombre fini d'éléments de la base.

Matrices

Article détaillé : matrice (mathématiques).

La base canonique des matrices est l'ensemble des matrices {}^{\mathbb E_{i,j}} qui présentent un 1 à l'intersection de la ième ligne avec la jème colonne et 0 partout ailleurs.

Pour toute matrice M = (ai,j), ses coordonnées dans la base canonique sont les coefficients

M = \sum _{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} a_{i,j} E_{i,j}
Exemple  :

\begin{pmatrix} 0 &1 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 4\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

Voir aussi


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