Anneau artinien

Anneau artinien

En algèbre commutative, un anneau artinien est un anneau vérifiant la condition des chaines décroissantes pour ses idéaux. Ce sont des anneaux noethériens de taille minimale. Les anneaux artiniens doivent leur nom au mathématicien autrichien Emil Artin.

Sommaire

Définition

On dit qu'un anneau commutatif (unitaire) A est un anneau artinien si c'est un A-module artinien. Autrement dit, si toute suite décroissante d'idéaux de A est stationnaire. Cela équivaut à dire que toute partie non vide d'idéaux de A admet un élément minimal (pour la relation d'inclusion).

Pour un anneau unitaire non commutatif, on définit de même les notions d'artinien à gauche et artinien à droite (relatives aux idéaux à gauche et à droite). Si l'anneau est simple, ces deux notions coïncident.

Exemples

  • Tout anneau fini est artinien.
  • Tout corps est artinien.
  • Soit A un anneau noethérien. Soit M un idéal maximal de A. Alors A/Mn, où n est un entier strictement positif, est un anneau artinien. En effet, il est de longueur finie en tant que A-module.
  • Si k est un corps, les anneaux quotients k[T]/(Tn) sont artiniens. C'est un cas particulier de l'exemple précédent. Ces anneaux sont à la base de la théorie des déformations en géométrie algébrique.
  • Si A est un anneau noethérien et si P est un idéal premier minimal (i.e. ne contenant aucun autre idéal premier), alors le localisé AP est un anneau artinien. En géométrie algébrique, un anneau artinien apparait comme l'anneau local d'un schéma noethérien en un point générique.

Propriétés

  • Tout anneau artinien est noethérien.
  • La classe des anneaux artiniens est stable par quotient et produit direct fini.
  • Tout anneau artinien est le produit direct d'un nombre fini d'anneaux locaux artiniens.
  • Un module de type fini sur un anneau artinien est un module artinien et noethérien, de longueur finie.
  • Caractérisation :
    • Un anneau est artinien si et seulement s'il est noethérien et de dimension de Krull nulle.
    • Soit A un anneau local noethérien, d'idéal maximal M. Alors A est artinien si et seulement si M n = 0 pour un entier n strictement positif.

Référence

(en) M. F. Atiyah et I. G. Macdonald (en), Introduction to Commutative Algebra, Addison–Wesley, 1969, chap. 8


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Anneau artinien de Wikipédia en français (auteurs)

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