142 857 (nombre)

Le nombre 142857 possède de nombreuses propriétés mathématiques remarquables en base 10. La plupart de celles-ci découlent du fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7.

Nombre cyclique

142 857 est un nombre cyclique appelé aussi « nombre phénix » :

Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires :

1 x 142 857 = 142 857

2 x 142 857 = 285 714

3 x 142 857 = 428 571

4 x 142 857 = 571 428

5 x 142 857 = 714 285

6 x 142 857 = 857 142

Cette propriété est vérifiée par un nombre donné si et seulement si,

• ce nombre est la période du développement décimal d'une fraction du type 1 / n ;
• cette période est de longueur n - 1.

Si la période est comprise entre 2 et n-2, seuls certains multiples du nombre seront une de ses permutations circulaires.

Les nombres de moins de cinquante chiffres possédant une telle propriété sont ainsi :

0 588 235 294 117 647 (16 chiffres, de 1/17) ;

052 631 578 947 368 421 (18 chiffres, de 1/19) ;

0 434 782 608 695 652 173 913 (22 chiffres, de 1/23) ;

0 344 827 586 206 896 551 724 137 931 (28 chiffres, de 1/29) ;

0 212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617 (46 chiffres, de 1/47).

On notera aussi les permutations circulaires suivantes :

142 857 / 2 = 71 428,5

142 857 / 5 = 28 571,4

Ou encore,

142 857 / 4 = 35714.25 (le 3 au début + le 5 à la fin = 8)

Multiplications de 8 à 14

Nous avons vu plus haut que les multiplications de 142 857 par les nombres 1 à 6 produisaient des permutations circulaires de ce dernier.

Les multiplications de 142 857 par 8 à 13 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité que le dernier chiffre N se transforme en (N-1), l'unité « passant devant » (l'unité correspond au million)

8 x 142 857 = 1 142 856 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 1+6)

9 x 142 857 = 1 285 713 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 1+3)

10 x 142 857 = 1 428 570 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 1+0)

11 x 142 857 = 1 571 427 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 1+7)

12 x 142 857 = 1 714 284 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 1+4)

13 x 142 857 = 1 857 141 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 1+1)

La multiplication par 7 de 142 857 donne évidemment 999 999 (puisque 142 857 est le développement périodique de la partie décimale de la division 1/7).

On note que la multiplication par 14 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre N en (N-1), l'unité « passant devant »

14 x 142 857 = 1 999 998 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 1+8)

Multiplications de 15 à 21

Les multiplications de 142 857 par 15 à 21 font aussi apparaître les permutations circulaires précédentes avec la particularité cette fois que le dernier chiffre N se transforme en (N-2), le 2 « passant devant » (2 correspond à 2 millions)

15 x 142 857 = 2 142 855 (le 7, dernier chiffre de la multiplication par 1, devient 2+5)

16 x 142 857 = 2 285 712 (le 4, dernier chiffre de la multiplication par 2, devient 2+2)

17 x 142 857 = 2 428 569 (le 1, dernier chiffre de la multiplication par 3, devient 2+(-1))

18 x 142 857 = 2 571 426 (le 8, dernier chiffre de la multiplication par 4, devient 2+6)

19 x 142 857 = 2 714 283 (le 5, dernier chiffre de la multiplication par 5, devient 2+3)

20 x 142 857 = 2 857 140 (le 2, dernier chiffre de la multiplication par 6, devient 2+0)

La multiplication par 17 fait apparaître une difficulté ; la règle s'applique sans s'appliquer. En effet, le problème de la décomposition du chiffre 1 en 2+(-1) « oblige » à retirer une unité au chiffre des dizaines et à mettre 9 au niveau des unités. La permutation de 142 857 est moins visible.

La multiplication par 21 vérifie aussi la particularité de la décomposition du dernier chiffre N en (N-2), le 2 « passant devant »

21 x 142 857 = 2 999 997 (le 9, dernier chiffre de la multiplication par 7, devient 2+7)

Multiplications suivantes

Pour les multiplications de 22 à 28, le dernier chiffre N devient (N-3), le 3 passant devant.

Pour les multiplications de 29 à 35, le dernier chiffre N devient (N-4), le 4 passant devant.

Et ainsi de suite.

L'explication est assez simple. Tout nombre entier N peut s'écrire de façon unique (7xA+B), A étant un nombre entier et B un nombre entier compris entre 0 et 6.

La multiplication par N devient :

N x 142 857 = (7xA+B) x 142 857 = A x (7 x 142 857) + B x 142 857 = A x (999 999) + B x 142 857 = (A x 1 000 000 - A) + B x 142 857

B étant compris entre 0 et 6, le produit B x 142 857 fait apparaître la permutation.

Le terme (A x 1 000 000 - A) explique la décomposition du dernier chiffre N de la permutation en (N-A) et A « passant devant » (A millions)

Comme nous l'avons vu plus haut pour la multiplication par 17, les décompositions faisant apparaître un nombre négatif vont devenir de plus en plus fréquentes à mesure que le multiplicateur croît et la permutation deviendra de moins en moins visible.

Addition, et carré

142 857² = 20 408 122 449

20 408 + 122 449 = 142 857

20 + 408 + 122 + 449 = 999

14 + 28 + 57 = 99

142 + 857 = 999

142 857 x 7 = 999 999

Lien avec 9, 99, 999 et 999 999

De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme 10ⁿ − 1 :

7 x 142 857 = 999 999

142 + 857 = 999

14 + 28 + 57 = 99

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 ou 2 + 7 = 9

Elles sont liées au fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7 et se généralisent aux autres périodes de fractions du type 1 / n par exemple :

• 333 (de 1/3)
• 09 (de 1/11)
• 076 923 (de 1/13)

On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre 6 modulo 9:

$2^1 \mod 9 \equiv 2$

$2^2 \mod 9 \equiv 4$

$2^3 \mod 9 \equiv 8$

$2^4 \mod 9 \equiv 7$

$2^5 \mod 9 \equiv 5$

$2^6 \mod 9 \equiv 1$

et l'on voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.

À partir de 7 x 142 857 = 999 999, on peut déduire

142 857 x 7 x n = (n x 1000000) - n,

ce qui permet de calculer mentalement rapidement n'importe quel multiple de 142857.

Nombre de Kaprekar

142 857 est un nombre de Kaprekar :

142857² = 020408 122449

142857 = 020408 + 122449

De même en le multipliant par n'importe quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre 142857 avec un éventuel décalage (donc 142857 x 1, 2, … ou 6) ou 999999 (= 142857 x 7), exemple :

142857 x 56 = 7999992

⇒ 7 + 999992 = 999999 = 142857 x 7

142857 x 125 = 17857125

⇒ 17 + 857125 = 857142 = 142857 x 6

142857 x 7841131285974854689745213 = 1120160492120509816412931893541

⇒ 1 + 120160 + 492120 + 509816 + 412931 + 893541 = 2428569

⇒ 2 + 428569 = 428571 = 142857 x 3

On notera également

142857⁴ = 000416 491461 893377 757601

142857 x 15 = 000416 + 491461 + 893377 + 757601

et

142857⁸ = 173465 137830 082936 774412 507898 191113 275201

142857 x 15 = 173465 + 137830 + 082936 + 774412 + 507898 + 191113 + 275201

Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :

• 333 (de 1/3)
• 09 (de 1/11)
• 047619 (de 1/19)

Nombre Harshad

142 857 est un nombre Harshad :

142857 = 5291 x (1+4+2+8+5+7)

Autres propriétés

Décomposition en produit de facteurs premiers :

142 857 = 3³ x 11 x 13 x 37

1/7 = 0.142857 142857 142857 …

Ancienne approximation de pi : 22/7 = 3.142857

326451 peut être considéré comme le jumeau de 142857…

142857 x 3 = 428571

142857 x 2 = 285714

142857 x 6 = 857142

142857 x 4 = 571428

142857 x 5 = 714285

142857 x 1 = 142857

10 = 3 + (7 x 1)

100 = 2 + (7 x 14)

1000 = 6 + (7 x 142)

10000 = 4 + (7 x 1428)

100000 = 5 + (7 x 14285)

1000000 = 1 + (7 x 142857)

On peut visualiser certaines propriétés de 142857 avec la roue de six évoquée par Dom Néroman dans son livre la leçon de Platon.

On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à l'intérieur.

apparences

Le nombre 142857 apparait dans la Trilogie du cycle des dieux de Bernard Werber comme le numéro de chambre de Michael Pinson et le fait réfléchir à toute ses caractéristiques.

Liens externes

• Site consacré au nombre