Troisieme probleme de Hilbert

Troisième problème de Hilbert

Le troisième problème de Hilbert est l'un des 23 problèmes de Hilbert. Considéré comme le plus facile, il traite de la géométrie des polyèdres.

Étant donnés deux polyèdres d'égal volume, est-il possible de découper le premier polyèdre en des polyèdres et de les rassembler pour former le second polyèdre ?

Hilbert conjectura que ce n'était pas toujours vrai. Ce fut confirmé dans l'année par son élève, Max Dehn, qui fournit un contre-exemple.

Pour le problème analogue concernant les polygones, la réponse est affirmative. Le résultat est connu sous le nom du théorème de Wallace-Bolyai-Gerwein.

Réponse de Dehn

Dehn utilise l'algèbre pour nier la possibilité du découpage. Lorsque le premier polyèdre peut être effectivement découpé en des polyèdres qui se rassemblent pour former le second, les polyèdres sont dits congruents.

À chaque polyèdre P, on associe une valeur, appelée « invariant de Dehn » D(P) telle que :

• D est additive : si P se découpe par section par un unique plan en deux polyèdres P₁ P₂, D(P)=D(P₁)+D(P₂).

En particulier, si deux polyèdres P et Q sont congruents, alors ils ont le même invariant de Dehn.

Le cube a un invariant de Dehn nul, alors que le tétraèdre a un invariant de Dehn positif. Ces deux polyèdres ne sont pas congruents.

L'invariant se définit sur les longueurs et les angles dièdres. Observons :

• Un découpage par un plan divise les longueurs de certains côtés en deux. Il faut donc que l'invariant soit additif en ces longueurs.
• De même, si un polyèdre est divisé selon un côté, l'angle dièdre correspondant est coupé en deux. Il faut donc que l'invariant soit additif en ces angles.
• Enfin, le découpage fait apparaître de nouveaux côtés ; donc des nouvelles longueurs, et des nouveaux angles dièdres. Ces contributions doivent s'annuler.

L'invariant de Dehn se définit comme un élément du produit tensoriel du corps des nombres réels $\mathbb R$ par le quotient $\mathbb R/\pi\mathbb Z$. Le produit tensoriel est pris sur $\mathbb Z$.

$\operatorname{D}(P) = \sum_{e} l(e)\otimes (\theta(e)+\mathbb{Z}\pi)$

où l(e) est la longueur du côté e, θ(e) est l'angle dièdre entre les faces adjacentes à e, et la somme est prise sur tous les cotés du polyèdre.

Au-delà du problème de Hilbert

Sylder démontra en 1965 que deux polyèdres sont congruents si et seulement si ils ont même volume et même invariant de Dehn.

En 1990, Dupon en donne une preuve simplifiée en réinterprétant comme un théorème sur l'homologie de certains groupes classiques.

Motivations

La formule du volume d'une pyramide était connue d'Euclide (proposition 7 du livre XII des Eléments) : 1/3 × aire de la base×hauteur. Mais contrairement à l'aire des triangles ou des parallélogrammes qui peuvent se comparer par simple découpage avec celle d'un rectangle, la démonstration du volume de la pyramide fait appel à la complexe méthode d'exhaustion, ancêtre du calcul intégral. Gauss le déplora dans l'une de ses lettres adressées à Gerling.

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