Triple produit de jacobi

Triple produit de Jacobi

En mathématiques, le Triple produit de Jacobi est une relation qui exprime les fonctions theta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le Théorème du nombre pentagonal.

Soit x et y des nombres complexes, avec |x| < 1 et y non nul. Alors

$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1} y^2\right) \left( 1 + x^{2m-1} y^{-2}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2} y^{2n}.$

Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions theta ; prenons x = exp(iπτ) et y = exp(iπz) on peut voir que le membre de droite est:

$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (i\pi n^2 \tau + 2i \pi n z)$.

Le Théorème du nombre pentagonal d'Euler en découle en prenant x = q^{3 / 2} et $y^2=-\sqrt{q}$. On obtient alors:

$\phi(q) = \prod_{m=1}^\infty \left(1-q^m \right) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.\,$

La triple produit de Jacobi prend une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la Fonction theta de Ramanujan. Il revêt également une forme très compacte sous forme de q-series:

$\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n(n+1)/2}z^n = (q;q)_\infty \; (-1/z;q)_\infty \; (-zq;q)_\infty.$

ici, (a;q)_n sont des q-series.

Références

• Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York ISBN 0-387-90163-9 See chapter 14, theorem 14.6.
• Daniel Duverney, Théorie des nombres, cours et exercices corrigés, Dunod

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