Axonométrie

Perspective axonométrique

commode en perspective axonométrique

Dans un certain nombre de situations, et notamment en dessin technique, le dessin est la représentation d'objets réels. Le lecteur du dessin doit pouvoir se représenter la pièce en volume à partir de sa représentation sur papier, en deux dimensions. Se pose alors le problème du passage trois dimensions → deux dimensions, qui est notamment le domaine de la perspective.

Dans l'espace, on peut choisir un point de référence et trois règles graduées ayant des directions distinctes (on les choisit en général perpendiculaires) et non coplanaires (c'est-à-dire que les trois règles ne sont pas dans le même plan). On peut alors repérer un point de l'objet à dessiner (par exemple un sommet) par trois nombres, appelés « coordonnées », qui sont la distance à parcourir selon les trois directions pour aller du point de référence au point visé.

Voir l'article Repérage dans le plan et dans l'espace.

Une perspective axonométrique est un dessin sur lequel :

  • les trois axes de référence sont représentés par trois droites ;
  • les longueurs mesurées sur les règles graduées (les coordonnées) sont reportées avec un facteur constant pour chacune des droites (mais ce facteur peut être différent d'une droite à l'autre).

Ainsi, le dessin est particulièrement simple à réaliser, que ce soit à la main ou par calcul informatique (infographie, dessin assisté par ordinateur, synthèse d'image 3D).

Sommaire

Perspective axonométrique et vision réelle

Projection axonométrique

La vision réelle est mieux rendue avec une perspective conique. Avec les perspectives axonométriques, l'éloignement par rapport à l'observateur se traduit uniquement par un déplacement dans le plan. Il n'y a en particulier pas de diminution de taille des objets avec l'éloignement. Par contre, si l'objet représenté est peu profond, l'effet de rapetissement est peu important, une perspective axonométrique peut donc donner une bonne illusion de ce que verrait l'œil.

Tout le problème consiste à choisir des directions et des rapports qui rendent un dessin facilement interprétable par le lecteur — on s'imagine bien qu'en prenant des axes et des rapports au hasard, on obtiendrait un dessin peu « réaliste ».

Perspective axonométrique et arts plastiques

La peinture chinoise a beaucoup utilisé le dessin sans rapetissement avec l'éloignement. S'il ne s'agit pas de « construction à la règle », la notion est similaire.

Défauts des perspectives axonométriques

Illustration de l'erreur induite par la perspective

Comme toutes les projections et toutes les perspectives, la perte de la troisième dimension induit des erreurs possibles d'interprétation. Ceci a été abondamment utilisé par l'artiste M. C. Escher pour créer des situations impossibles.

Formalisme

Considérons un repère orthonormé direct (O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}), les vecteurs définissant respectivement l'axes des x, des y et des z. Les trois axes sont représentés par trois droites sur le plan (dessin), de vecteurs directeurs unitaires \vec{e'_1}, \vec{e'_2} et \vec{e'_3} tels que :

  • la représentation de \vec{e_1} est \vec{e''_1} = k_1 \cdot \vec{e'_1} ;
  • la représentation de \vec{e_2} est \vec{e''_2} = k_2 \cdot \vec{e'_2} ;
  • la représentation de \vec{e_3} est \vec{e''_3} = k_3 \cdot \vec{e'_3}.

Si l'on connaît les coordonnées (x, y, z) d'un point dans l'espace, alors le placement de ce point sur le plan de projection est particulièrement simple : il suffit de reporter ces coordonnées sur les axes projetés en appliquant les coefficients k1, k2 et k3.

Projections orthogonales

Exemple de projection orthogonale

La projection orthogonale est une opération mathématique. Dans le cas qui nous intéresse, il s'agit de projeter un point de l'espace sur un plan, perpendiculairement à ce plan.

Par exemple, l'ombre créée par le Soleil, lorsque celui-ci est à la verticale de l'endroit où l'on se trouve, est une projection orthogonale de l'objet.

Les projections orthogonales sont des applications linéaires, ce qui signifie entre autres que deux vecteurs proportionnels restent proportionnels une fois projetés ; ce sont donc bien des perspectives axonométriques.

Si la projection peut se gérer simplement en infographie, la détermination des directions des axes projetés et des coefficients de proportionnalité pour le tracé manuel n'est pas très simple dans le cas général. On utilise de fait fréquemment des perspectives dimétriques pour lesquelles deux des coefficients sont égaux.

Détermination des directions des axes et des rapports

Rotations du plan de projection
Rotations du repère ayant le même effet

On peut décrire le plan de projection par des rotations transformant un plan donné, par exemple le plan (Oxz). Si l'on s'impose que la projection de \vec{e_3} reste verticale, alors on voit que le plan de projection peut s'obtenir par deux rotations, par exemple :

  1. une rotation autour de l'axe (Ox) ;
  2. puis une rotation autour de la projection de (Oz) sur le plan.

On peut aussi procéder dans « l'ordre inverse » :

  1. une rotation autour de (Oz) ;
  2. puis une rotation autour de la trace du plan (Oxy) sur le plan de projection.

Voir aussi l'article Angles d'Euler.

C'est cette deuxième manière de faire que nous allons retenir. Remarquons que l'on obtient le même résultat en considérant que le plan de projection reste fixe, mais que c'est le repère qui tourne (avec des angles opposés). Considérons que le plan de projection est (Oxz). Si l'on opère une rotation autour de (Oz) d'un angle ω, les vecteurs de la base se transforment en :

\vec{e_1} \rightarrow \vec{e'_1} = \cos \omega \cdot \vec{e_1} + \sin \omega \cdot \vec{e_2}
\vec{e_2} \rightarrow \vec{e'_2} = -\sin \omega \cdot \vec{e_1} + \cos \omega \cdot \vec{e_2}

Si l'on applique ensuite une rotation d'angle α autour de l'axe Ox initial (qui est bien la trace de (Oxy) sur le plan de projection) puis que l'on fait la projection sur le plan, on voit que, (0, \vec{i}, \vec{j}) étant le repère orthonormé direct du plan de projection (transformé de (O, \vec{e_1}, \vec{e_3}) par les rotations si c'est le plan qui tourne, ou bien (O, \vec{e_1}, \vec{e_3}) originel si c'est le repère qui tourne) :

  • le vecteur \vec{e_3} se projette selon \cos \alpha \vec{j} ;
  • le vecteur \vec{e_1} se projette comme lui-même ;
  • la projection du vecteur \vec{e_2} est - \sin \alpha \cdot \vec{j}.

Les projections axes sont donc données par les vecteurs suivants, dont la norme est le coefficient de report :

  • Ox : \vec{e''_1} = \cos \omega \cdot \vec{i} - \sin \omega \sin \alpha \cdot \vec{j} ; k_1 = \sqrt{\cos^2 \omega + \sin^2 \omega \sin^2 \alpha }
  • Oy : \vec{e''_2} = - \sin \omega \cdot \vec{i} - \cos \omega \sin \alpha \cdot \vec{j} ; k_2 = \sqrt{\sin^2 \omega + \cos^2 \omega \sin^2 \alpha}
  • Oz : \vec{e''_3} = \cos \alpha \cdot \vec{j} ; k3 = | cosα |

Les angles des axes projetés \vec{e''_1} et \vec{e''_2} par rapport à l'horizontale \vec{i} peuvent se calculer à l'aide de la trigonométrie, par exemple :

  • (\widehat{\vec{i}, \vec{e''_1}}) = \arctan \left ( \frac{\sin \omega \cdot \sin \alpha}{\cos \omega} \right )
  • (\widehat{\vec{i}, \vec{e''_2}}) = \arctan \left ( \frac{\cos \omega \cdot \sin \alpha}{\sin \omega} \right )

les angles étant ici non orientés.

Si x, y et z sont les coordonnées d'un point de l'espace dans le repère (O, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}), et x" et y" les coordonnées de son projeté dans le repère (O, \vec{i}, \vec{j}), on peut définir la matrice P de la projection telle que

\begin{pmatrix}
x'' \\ y''
\end{pmatrix}
= P \cdot 
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}

(voir l'article Produit matriciel), avec

 P = \begin{pmatrix}
\cos\omega                   & -\sin\omega                  & 0 \\
-\sin\omega \cdot \sin\alpha & -\cos\omega \cdot \sin\alpha & \cos\alpha \\
\end{pmatrix}

et

\begin{pmatrix}
x'' \\ y''
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\cos\omega \cdot x -\sin\omega \cdot y \\
-\sin\omega \cdot \sin\alpha \cdot x -\cos\omega \cdot \sin\alpha \cdot y + \cos\alpha \cdot z
\end{pmatrix}

Par exemple, pour ω = 30° et α = 20°, on a :

  • k1 ≈ 0,88 ;
  • k2 ≈ 0,58 ;
  • k3 ≈ 0,94 ;
  • (i, e"1 ) ≈ 11,17°
  • (i, e"2 ) ≈ 30,64°
  • x" ≈ 0,87·x - 0,50·y ;
  • y" ≈ -0,17·x - 0,30·y + 0,94·z.

Perspectives dimétriques

Une perspective dimétrique est une perspective pour laquelle deux des rapports sont égaux.

Géométrie descriptive

Les vues en géométrie descriptive sont un cas particulier dans lequel deux des coefficients sont égaux à 1, et le troisième coefficient est égal à 0.

Ce sont également des projections orthogonales.

Perspective cavalière

Il s'agit d'une projection oblique et non d'une véritable axonométrie.

Les figures de gauche sont les vues en géométrie descriptive ; la figure de droite est une perspective cavalière avec un angle de 30° et un rapport de 0,5

Dans la perspective cavalière, deux des axes sont orthogonaux et ont un facteur de report de 1. Le troisième axe est incliné, en général de 30 ou 45° par rapport à l'horizontale, appelé « angle de fuite », et a un facteur de report inférieur à 1, en général 0,7 ou 0,5.

Voir l'article détaillé Perspective cavalière.

Projections orthogonales dimétriques

Report des coordonnées pour placer un point sur une perspective dimétrique
Plan de projection tournant autour de la deuxième bissectrice du plan xy

Choisissons k1 = k2 ; les projections des axes x et y sont symétriques par rapport à la verticale. Cette situation est un cas particulier de la projection orthogonale avec ω = 45 ° ; on a cos ω = sin ω = √2/2, soit

  • Ox : \vec{e''_1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} -\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \cdot \vec{j} ; k_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{1 + \sin^2 \alpha } = \sqrt{ \frac{1 + \sin^2 \alpha}{2} } ; (i, e"1 ) = arctan(sin α) ;
  • Oy : \vec{e''_2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \cdot \vec{j} ; k2 = k1 ; (i, e"2 ) = (i, e"1 ) ;
  • Oz : \vec{e''_3} = \cos \alpha \cdot \vec{j} ; k3 = | cosα | .

Le plan de projection tourne autour de la deuxième bissectrice du plan (Oxy), c'est-à-dire autour du vecteur \vec{e_1} + \vec{e_2}.

On a

 P = \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2}                  & -\frac{\sqrt{2}}{2}                   & 0 \\
-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\alpha & -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\alpha & \cos\alpha \\
\end{pmatrix}

et

\begin{pmatrix}
x'' \\ y''
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - y) \\
-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin\alpha \cdot (x + y) + \cos\alpha \cdot z
\end{pmatrix}

Par exemple, pour α = 45 °, on a

  • k3 ≈ 0,71 ;
  • k1 = k2 ≈ 0,87 ;
  • (i, e"1 ) ≈ 35,26 ° (vecteur e"1  dirigé vers le bas) ;

et pour α = -10 °, on a

  • k3 ≈ 0,98 ;
  • k1 = k2 ≈ 0,72 ;
  • (i, e"1 ) ≈ 9,85 (vecteur e"1  dirigé vers le haut).

Perspective isométrique

les figures de gauche représentent les vues en géométrie descriptive ; la figure de droite représente une perspective isométrique avec une coupe

La perspective isométrique est le cas particulier où les trois rapports sont égaux. Il s'agit d'une projection orthogonale.

On a :

k1 = k3

soit

\sqrt{ \frac{1 + \sin^2 \alpha}{2}} = \cos \alpha

en utilisant le fait que cos²α + sin²α = 1, on obtient

\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}

et donc également \cos \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} soit

  • Ox : \vec{e''_1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \vec{j} ; k_1 = \sqrt{\frac{2}{3}} ; (i, e"1 ) = arctan(1/√3) = 30 ° ;
  • Oy : \vec{e''_2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \vec{j} ; k2 = k1 ; (i, e"2 ) = (i, e"1 ) ;
  • Oz : \vec{e''_3} = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \vec{j} ; k3 = k1.

Il s'agit donc d'un projection orthogonale dimétrique (ω = 45 °), pour laquelle on a α ≈ 35,26 ° et k1 = k2 = k3 ≈ 0,82.

 P = \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2}                  & -\frac{\sqrt{2}}{2}                   & 0 \\
-\frac{1}{\sqrt{2}}  & \frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{\frac{2}{3}} \\
\end{pmatrix}

et

\begin{pmatrix}
x'' \\ y''
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (x - y) \\
-\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (x + y) + \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot z
\end{pmatrix}

soit

x" ≈ 0,71·(x - y )
y" ≈ -0,41·(x + y ) + 0,82·z

Voir l'article détaillé Perspective isométrique.

En synthèse d'image 3D

Projection orthogonale en synthèse d'image

On voit que si l'on connaît les coordonnées X_3D, Y_3D et Z_3D du point dans l'espace, ses coordonnées sur l'écran X_2D et Y_2D, en considérant une projection orthogonale, seront de la forme :

X_2D = X_2D_0 + facteur*( A1*X_3D + A2*Y_3D )
Y_2D = Y_2D_0 + facteur*( B2*(A2*X_3D - A1*Y_3D) + B1*Z_3D )

X_2D_0 et Y_2D_0 sont des constantes permettant de « centrer » l'image, et facteur est une constante d'échelle. Les constantes A1, A2, B1 et B2 caractérisent la direction des axes et les proportion des reports sur ces axes ; ils peuvent être définis par :

A1 = cos(omega)
A2 = sin(omega)
B1 = cos(alpha)
B2 = sin(alpha)

omega et alpha étant des constantes (par rapport à l'étude précédente, le signe pour sin ω a changé, ce qui correspond à un changement du signe des angles, donc à la référence pour le sens de rotation). On peut aussi les définir sans relation avec les angles, de manière « empirique » (par exemple ajustés par essais-erreur pour obtenir un résultat « agréable »), comme étant compris entre -1 et 1 et vérifiant :

A1^2 + A2^2 = 1
B1^2 + B2^2 = 1

on peut ainsi ne définir que deux paramètres, A1 et B1, et calculer :

A2 = sqrt(1 - A1^2) ou A2 = - sqrt(1 - A1^2)
B2 = sqrt(1 - B1^2) ou B2 = - sqrt(1 - B1^2)
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