Axiomes des probabilités

Dans la théorie des probabilités, une mesure de probabilité (ou plus brièvement probabilité) \ \mathbb{P} est une application qui à un évènement A quelconque associe un nombre réel (noté \ \mathbb{P}(A)). Une mesure de probabilité doit satisfaire les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andreï Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés.

Une mesure de probabilité \ \mathbb{P} est toujours définie sur un espace probabilisable \left(\Omega,  \mathcal A\right), i.e. sur un couple constitué d'un ensemble d'éventualités, l'univers Ω, et d'une tribu \mathcal  A de parties de l'univers Ω. Les éléments de la tribu \mathcal   A sont appelés les évènements. Ainsi la mesure de probabilité \ \mathbb{P} est une application de \mathcal   A dans \mathbb R.

Sommaire

Premier axiome

Pour tout évènement \ A :

0 \leq \mathbb{P}(A) \leq 1.

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

\ \Omega désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée,

\ \mathbb{P}(\Omega) = 1,

C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), A_1,\, A_2, \dots satisfait :

\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_{i = 1}^{+\infty} \mathbb{P}(A_i).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :

  • \mathbb{P}(\emptyset)=0.
  • Si \ A, \ B sont deux évènements incompatibles (ou disjoints), alors
\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B).
  • Plus généralement, si \ (A_k)_{1\le k\le n} est une famille d'évènements 2 à 2 incompatibles, alors
\mathbb{P}\left(\bigcup_{1\le k\le n} A_k\right) = \sum_{1\le k\le n}\mathbb{P}(A_k).
  • \mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B);

Cette relation signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B). Cette relation découle de ce que B est réunion disjointe de B \setminus A et de A \cap B.

  • En particulier, si A \subset B, alors
\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)

C'est la propriété de croissance de la probabilité. En effet, dans le cas particulier où A \subset B, la propriété précédente s'écrit

\mathbb{P}(B \setminus A) =\mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A),\ où le premier terme est clairement positif ou nul.
  • Dans le cas particulier où B = Ω, cela donne que, pour tout évènement \ A,
\mathbb{P}(\Omega \setminus A) = 1 - \mathbb{P}(A)

Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement lui-même.

  • Pour tous évènements \ A, \ B,
\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\ \le\ \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) .

Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements A ou B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que \ A se réalise, et pour que \ B se réalise, moins la probabilité pour que \ A et \ B se réalisent simultanément. De même,

\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C) - \mathbb{P}(B \cap C) - \mathbb{P}(C \cap A) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap B \cap C).
\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)=\sum_{k=1}^n \left((-1)^{k-1} \sum_{1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n} \mathbb{P}\left(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap \ldots \cap A_{i_k}\right)\right),

qui donne la probabilité de la réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

  • Par récurrence, l'inégalité obtenue pour n=2 se généralise :
\mathbb{P}\left(\,\bigcup_{i=1}^n A_i\,\right)\le\sum_{k=1}^n  \mathbb{P}\left(A_{k}\right).

Limites croissantes et décroissantes

  • Toute suite croissante d'évènements A_1\,\subset\, A_2\,\subset\, A_3\,\subset\,\dots satisfait :
\mathbb{P}(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) d'évènements croissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

  • Toute suite décroissante d'évènements A_1\,\supset\, A_2\,\supset\, A_3\,\supset\,\dots satisfait :
\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \cdots) = \lim_{n} \mathbb{P}(A_n).

C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est l'intersection (dénombrable) d'évènements décroissants est égale à la limite des probabilités de ces évènements.

\mathbb{P}(B_1 \cup B_2 \cup \cdots) \le \sum_{n} \mathbb{P}(B_n).

Formulation à partir de la théorie de la mesure

Article détaillé : Théorie de la mesure.

De manière équivalente, on définit plus simplement le triplet (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) représentant un espace probabilisé, comme un espace mesuré dont la mesure, \mathbb{P}, a la particularité d'avoir une masse totale égale à 1:

\mathbb{P}(\Omega)=1.

En théorie de la mesure, les évènements sont appelés « ensembles mesurables ». Ce mini-lexique permet de traduire les résultats de la théorie de la mesure et de l'intégration de Lebesgue en termes probabilistes.


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