Axiome de la réunion

Dans la théorie des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de la réunion est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, affirmant que, pour tout ensemble quelconque, il existe un ensemble qui contient exactement les éléments de tout élément de l'ensemble.

Cet axiome, permet avec l'aide de l'axiome de la paire de démontrer que la réunion de deux ensembles (qui contient exactement les éléments des deux ensembles), est un ensemble.

Dans le langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit:

\forall A\ \exists B\ \forall C\ ( C\in B\Leftrightarrow \exists D\ (D\in A\wedge C\in D) )

ou avec des mots:

étant donné un ensemble quelconque A, il existe un ensemble B tel que, pour tout ensemble C quelconque, C est élément de B si et seulement s’il existe un ensemble D tel que D soit un élément A et que C soit un élément de D.

La clause placée entre parenthèses et faisant intervenir D sert à déclarer que C est élément d'un certain ensemble, lui-même élément de A. Ainsi, l'axiome affirme réellement qu'étant donné un ensemble A, il existe un ensemble B dont les éléments sont précisément les éléments des éléments de A. L'axiome d'extensionnalité prouve que cet ensemble B est unique. L'ensemble B est appelé la réunion de A, et est noté \cup A. Ainsi l'axiome dit essentiellement que la réunion d'un ensemble (la réunion de tous les éléments de cet ensemble) est un ensemble.

L'axiome de la réunion ou un équivalent de celui-ci apparaît dans pratiquement toute axiomatique alternative de la théorie des ensembles.

Il n'y a pas d'axiome correspondant pour l'intersection. Dans le cas où A est l'ensemble vide, il n'y a aucune intersection de A dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. D'autre part, si A a un certain élément B, l'ensemble \cap A = \{ C\in B\ | \  \forall D\in A\cdot \ C\in D\} peut être formé en employant le schéma d'axiomes de compréhension.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Axiome de la réunion de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Axiome De La Réunion — Dans la théorie des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l informatique, l axiome de la réunion est l un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel, affirmant que, pour tout ensemble quelconque,… …   Wikipédia en Français

  • Axiome de la reunion — Axiome de la réunion Dans la théorie des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l informatique, l axiome de la réunion est l un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel, affirmant que, pour tout… …   Wikipédia en Français

  • Axiome De La Paire — En mathématiques, l axiome de la paire est l un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo Fraenkel. Sommaire 1 Exposition 2 Généralisation 3 Sch …   Wikipédia en Français

  • Axiome de la paire — En mathématiques, l axiome de la paire est l un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo Fraenkel. Sommaire 1 Exposition 2 Généralisation 3 Schéma de remplac …   Wikipédia en Français

  • Axiome De L'infini — En mathématiques dans le domaine de la théorie des ensembles, l axiome de l infini désigne l un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel qui assure l existence d un ensemble infini, plus précisément d un ensemble qui contient… …   Wikipédia en Français

  • Axiome de l'infini — En mathématiques dans le domaine de la théorie des ensembles, l axiome de l infini désigne l un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel qui assure l existence d un ensemble infini, plus précisément d un ensemble qui contient… …   Wikipédia en Français

  • Axiome de limitation de taille — En théorie des ensembles, plus précisément en théorie des classes, l axiome de limitation de taille a été proposé par John von Neumann dans le cadre de sa théorie des classes. Il formalise en partie le principe de limitation de taille (traduction …   Wikipédia en Français

  • Axiome De Séparation — Schéma d axiomes de compréhension Le schéma d axiomes de compréhension, ou schéma d axiomes de séparation est un schéma d axiomes de la théorie des ensembles introduit par Zermelo dans sa théorie des ensembles, souvent notée Z. On dit souvent en… …   Wikipédia en Français

  • Axiome de compréhension — Schéma d axiomes de compréhension Le schéma d axiomes de compréhension, ou schéma d axiomes de séparation est un schéma d axiomes de la théorie des ensembles introduit par Zermelo dans sa théorie des ensembles, souvent notée Z. On dit souvent en… …   Wikipédia en Français

  • Axiome de separation — Schéma d axiomes de compréhension Le schéma d axiomes de compréhension, ou schéma d axiomes de séparation est un schéma d axiomes de la théorie des ensembles introduit par Zermelo dans sa théorie des ensembles, souvent notée Z. On dit souvent en… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”