Axiome de l'ensemble vide

L'axiome de l'ensemble vide est, en mathématiques l'un des axiomes possibles de la théorie des ensembles. Comme son nom l'indique, il permet de poser l'existence d'un ensemble vide. Dans les présentations modernes, il n'est plus mentionné parmi les axiomes des théories des ensembles de Zermelo, ou Zermelo-Fraenkel, car il est conséquence en logique du premier ordre du schéma d'axiomes de compréhension.

Exposition

Dans le langage formel des axiomes de Zermelo-Frankel, l'axiome s'écrit :

\exists A\ \forall B ( B\not\in A )

ou en d'autres termes :

Il existe un ensemble A tel que, pour tout ensemble B, B n'est pas un élément de A, c’est-à-dire qu'il existe un ensemble dont aucun ensemble n'est élément.

L'axiome d'extensionnalité peut être utilisé pour démontrer que cet ensemble est unique. Il est appelé l'ensemble vide et il est noté \empty ou {}.

Essentiellement, l'axiome affirme donc que l'ensemble vide existe.

Ensemble vide et schéma de compréhension

L'existence de l'ensemble vide peut être démontrée par compréhension, et donc n'a pas à faire partie des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo ou de Zermelo-Fraenkel, quand celles-ci sont vues comme des théories du premier ordre. En effet, en logique du premier ordre, les domaines d'interprétation des variables d'objets de base, ici des variables d'ensemble, sont non vides. Cela compliquerait beaucoup l'exposé des règles logiques de considérer des domaines vides. C'est ce qui permet l'introduction de nouvelles variables dans le raisonnement : dès que l'on introduit une nouvelle variable, on suppose qu'elle désigne un objet.

Il suffit donc, dans le cas qui nous préoccupe, d'appliquer le schéma d'axiomes de compréhension à un ensemble arbitraire, pour une propriété jamais réalisée : soit y un ensemble, a={xy| x ≠ x} est bien l'ensemble vide, c’est-à-dire que  \forall x ( x\not\in a ).

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Axiome de l'ensemble vide de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Axiome De L'ensemble Vide — L axiome de l ensemble vide est, en mathématiques l un des axiomes possibles de la théorie des ensembles. Comme son nom l indique, il permet de poser l existence d un ensemble vide. Dans les présentations modernes, il n est plus mentionné parmi… …   Wikipédia en Français

  • Axiome De L'ensemble Des Parties — En mathématiques, l axiome de l ensemble des parties est l un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo Fraenkel. L axiome affirme l existence pour tout ensemble E, d un ensemble …   Wikipédia en Français

  • Axiome De L'infini — En mathématiques dans le domaine de la théorie des ensembles, l axiome de l infini désigne l un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel qui assure l existence d un ensemble infini, plus précisément d un ensemble qui contient… …   Wikipédia en Français

  • Axiome de l'infini — En mathématiques dans le domaine de la théorie des ensembles, l axiome de l infini désigne l un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo Fraenkel qui assure l existence d un ensemble infini, plus précisément d un ensemble qui contient… …   Wikipédia en Français

  • Axiome de l'infini — ● Axiome de l infini axiome fondamental de la théorie des ensembles qui énonce qu il existe un ensemble qui, s il contient l ensemble vide et s il contient un élément y, contient aussi son successeur …   Encyclopédie Universelle

  • Axiome De La Paire — En mathématiques, l axiome de la paire est l un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo Fraenkel. Sommaire 1 Exposition 2 Généralisation 3 Sch …   Wikipédia en Français

  • Ensemble Vide — En mathématiques, l ensemble vide est l ensemble ne contenant aucun élément. Sommaire 1 Notation 2 Propriétés 3 Difficultés de la notion d ensemble vide …   Wikipédia en Français

  • Axiome de la paire — En mathématiques, l axiome de la paire est l un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo Fraenkel. Sommaire 1 Exposition 2 Généralisation 3 Schéma de remplac …   Wikipédia en Français

  • Ensemble vide — En mathématiques, l ensemble vide est l ensemble ne contenant aucun élément. Sommaire 1 Notation 2 Propriétés 3 Difficultés de la notion d ensemble vide …   Wikipédia en Français

  • Axiome de remplacement — Schéma d axiomes de remplacement Le schéma d axiomes de remplacement, ou schéma d axiomes de substitution est un schéma d axiomes de la théorie des ensembles introduit en 1922 indépendamment par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem. Il assure …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”