Axiome de constructibilite

Axiome de constructibilité

L'axiome de constructibilité est un des axiomes possibles de la théorie des ensembles affirmant que tout ensemble est constructible. Cet axiome est généralement résumé par

V = L,

V représente l'univers de von Neumann et L l'univers constructible.

Informellement dit il consiste à faire coïncider la classe des ensembles V avec la classe des ensembles récursivement définissables via un langage approprié L.

Conséquences de son adoption

L'acceptation de l'axiome de constructibilité tranche certaines questions indécidables de la théorie des ensembles usuelle ZFC.

L'axiome de constructibilité implique l'hypothèse généralisée du continu, l'axiome du choix, la négation de l'hypothèse de Suslin et l'existence d'un simple (Δ12) non-mesurable ensemble de nombres réels.

L'axiome de constructibilité implique l'inexistence de certains grands cardinaux.

La plupart des théoriciens de théorie des ensembles qui soutiennent une position réaliste en philosophie des mathématiques, et qui considèrent donc que cet axiome est vrai ou faux en soi, le tiennent pour faux. Ceci, d'une part, car il semble excessivement restrictif (il n'accepte que certains sous ensembles d'un ensemble donné sans qu'il apparaisse clair, à leurs yeux de réalistes, que ce sont les seuls) et d'autre part car cet axiome est en contradiction avec certains axiomes de grands cardinaux. Cette manière de voir est associée à la cabale ou l'"école de Californie" dont Saharon Shelah fit partie.

Voir aussi

Bibliographie

  • Keith Devlin, Constructibility, 1984, édition Springer. ISBN 3-540-13258-9.
  • Keith Devlin, The Joy of Sets, Fundamentals of Contemporary Set Theory, 1991, edition Springer-Verlag.
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