Axiome Du Choix

Axiome du choix

L'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles.

Sommaire

Énoncé

L'axiome du choix peut s'énoncer comme suit :

« Étant donné un ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X, appelée fonction de choix, qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

L'appel à l'axiome du choix n'est pas nécessaire si X est un ensemble fini. L'axiome du choix devient, dans ce cas particulier, une simple conséquence de la définition d'ensemble non vide (c'est-à-dire qu'il existe un élément appartenant à cet ensemble). Le résultat se montre par récurrence sur le nombre d'éléments de X.

Il existe d'autres cas particuliers, où une telle fonction peut être explicitement définie. Par exemple, pour un ensemble X de sous-ensembles non vide des entiers naturels, on peut définir une fonction de choix en posant, pour x un élément de X, f(x) égal à l'élément minimal de x. On s'est servi de la propriété de bon ordre sur les entiers naturels, et non de l'axiome du choix. Cependant dans le cas général, l'existence d'une fonction de choix repose sur l'axiome ci-dessus.

Autres formulations

On trouve d'autres formulations de l'axiome du choix, très proches de la précédente, dont les suivantes :

  • « Le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide », c'est à dire que pour toute famille (Xi)iI :
\forall i\in I\ (X_i\neq\emptyset)\ \Rightarrow\ \prod_{i\in I}X_i\neq \emptyset ;
En effet, un élément de ce produit est par définition une fonction de choix définie sur l'ensemble {Xi | iI} des éléments de la famille.
  • Étant donné un ensemble E, il existe une fonction définie sur l'ensemble des parties de E, et qui à toute partie non vide de E associe un élément de cette partie.
  • « Toute surjection sur un ensemble non vide est inversible à droite » ;
  • Pour toute relation d'équivalence R sur un ensemble non vide X, il existe un choix de représentants de R, autrement dit un sous-ensemble Y de X tel que tout élément de X est R-équivalent à un unique élément de Y.


Énoncés équivalents

L'axiome du choix est souvent utilisé par l'intermédiaire de l'un des deux énoncés suivants qui lui sont équivalents.

On montre facilement que le théorème de Zermelo implique l'axiome du choix : comme pour les entiers naturels, si E est muni d'un bon ordre, le minimum pour celui-ci fournit une fonction de choix sur l'ensemble des parties non vides de E (second énoncé équivalent). De même le lemme de Zorn a également facilement pour conséquence l'axiome du choix.

Les réciproques, sont un peu plus délicates. On peut utiliser dans les deux cas assez naturellement la théorie des ordinaux, mais il est possible de démontrer directement le lemme de Zorn en travaillant directement sur la structure d'ordre de l'inclusion sur un ensemble de parties (c'est un ensemble inductif). Le théorème de Zermelo se déduit simplement du lemme de Zorn.


Particularités

Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles. En effet, l'existence d'un objet défini à partir de l'axiome du choix n'est pas une existence constructive, c’est-à-dire que l'axiome ne décrit aucunement comment construire l'objet dont on affirme l'existence. Ainsi, dire qu'il existe une base de l'espace vectoriel des fonctions continues ne permet en aucune façon de dire comment décrire une telle base. De ce point de vue, l'axiome du choix peut paraître d'un intérêt limité et c'est pourquoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix. Mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière.

L'axiome du choix ne fait pas partie du jeu d'axiomes de la théorie des ensembles ZF. On appelle théorie ZFC, la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix.

Anecdote

Bertrand Russell disait à propos de l'axiome du choix : Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

  • Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
  • Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite.

Exemples où l'axiome du choix est nécessaire

Formes faibles de l'axiome du choix

Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir à moins d'être logicien ou « constructiviste », et qui servent à « construire » des suites. Ils sont absolument indispensables pour l'exposé usuel des fondements de l'analyse.

Axiome du choix dénombrable

Cet axiome, abrégé en « AD », est la restriction de l'axiome du choix aux familles dénombrables :

« Étant donnée une famille dénombrable d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

Il est par exemple utilisé pour démontrer qu'une fonction f définie sur R est continue en 0 ssi f(xn) tend vers f(0) pour toute suite (xn) tendant vers 0. Il permet aussi de démontrer qu'un produit dénombrable d'espaces compacts est compact, ou encore le théorème de Hahn-Banach pour un espace de Banach séparable. Il permet également de démontrer le théorème des complets emboîtés (dont l'une des conséquences est le théorème de Baire).

Attention à une confusion courante: c'est la famille d'ensembles qui est dénombrable, aucune hypothèse n'étant faite sur les ensembles composant cette famille. L'axiome du choix dénombrable ne concerne pas la question du choix d'un élément dans un ensemble dénombrable mais la possibilité de faire une infinité dénombrable de choix simultanément.

Axiome du choix dépendant

Cet axiome, abrégé en « DC », assure que, si R est une relation sur un ensemble non vide E vérifiant

\forall x \in E\ \exists y \in E\ xRy,

alors il existe une suite (xn) d'éléments de E telle que

\forall n\ x_nRx_{n+1}.

L'axiome DC implique l'axiome AD. Il est par exemple utilisé dans l'axiome de fondation et plus généralement relation bien fondée pour établir l'équivalence de deux définitions.

Voir aussi

Articles connexes

Article détaillé : Théorie des ensembles.
Résultats liés à l'axiome du choix


Nombre chromatique

En théorie des graphes, le nombre chromatique du plan, et même de la ligne, dépendent de l'axiome du choix.

Lien externe

  • Hadamard, Borel, Baire, Lebesgue : Cinq lettres sur la théorie des ensembles, Bulletin de la SMF, tome 33 (1905), p.261-273. [1]


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