Théorème du nid d'abeille

 Ne doit pas être confondu avec Nid d'abeille (géométrie).

Pavage hexagonal régulier

Le théorème du nid d'abeille précédemment connu sous le nom de conjecture du nid d'abeille (Honeycomb conjecture en Anglais), énonce que le pavage hexagonal régulier est la partition du plan en surfaces égales ayant le plus petit périmètre. Ce théorème fut démontré par Thomas Hales en 1999^[1] avec des révisions en 2001^[2].

Le nom de ce théorème est tiré de l'observation du pavage hexagonal des alvéoles d'abeille.

Historique

Les premières traces écrites de ce problème mathématique se trouvent dans le livre V de Pappus, IV^e siècle après J.C. Reprenant en partie le traité de Zénodore Sur les figures isomorphes (environ 180 avant J.C. ; aujourd'hui perdu) dans son livre V, on ne sait pas qui de Pappus ou de Zénodore a le premier soulevé la question géométrique d'un pavage hexagonal.

Les pythagoriciens savaient déjà que seuls trois polygones réguliers : le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier sont capables de paver le plan. Observant les alvéoles d'abeilles, Pappus déclara que les abeilles l'utilisent car pour une quantité de matériau donnée, la forme hexagonale est celle des trois qui permet de renfermer le plus de miel. Implicitement il comparait les trois polygones réguliers, dont on peut relativement facilement démontrer que la pavage hexagonal est la solution la plus économique. Darwin l'évoqua également ; il pensait que le pavage hexagonal employé par les abeilles est le résultat d'une sélection naturelle où les abeilles qui utilisent le moins de cire l'emportent^[3].

En 1781, L'Huilier écrivit dans ses mémoires^[4] qu'il s'agissait là d'un des problèmes les plus difficiles de la géométrie. On retrouve ce sujet dans de divers ouvrages jusqu'au XIX^e siècle^[5],[6].

La résolution d'un cas particulier de ce théorème est attribuée à Hugo Steinhaus^[7], mais le premier élément de réponse fut apporté en 1943 par le mathématicien hongrois László Fejes Tóth (de) qui démontra le théorème sous l'hypothèse de convexité des tuiles du pavage. Il était persuadé que le théorème resterait vrai sans cette hypothèse mais ne parvint pas à le démontrer affirmant que cela soulèverait des "difficultés considérables"^[8].

Ce n'est qu'en 1999 que Thomas Hales, s'appuyant sur les travaux de divers mathématiciens comme Frank Morgan^[9], Frederick J. Almgren Jr.^[10], ou Jean Taylor^[11] quant à l'existence d'une solution, démontre ce théorème.

Article connexe

• Conjecture de Kepler

Références

1. ↑ (en) T. C. Hales The Honeycomb Conjecture. 8 juin 1999 [PDF]
2. ↑ (en) T. C. Hales The Honeycomb Conjecture. Disc. Comp. Geom. v25, 1-22, 2001 [PDF]
3. ↑ (en) Charles Darwin, L'Origine des espèces, 1859
4. ↑ M. Lhuilier, Mémoire sur le minimum de cire des alvéoles des abeilles, Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin, 1781
5. ↑ (en) Thompson, On Growth and Form, Vol 2, second edition, 1952
6. ↑ V. Willem, L'architecture des abeilles, 1928
7. ↑ (en) H. Croft, K. Falconer, R. Guy, Unsolved problems in geometry, Springer, 1991
8. ↑ (en) L. Fejes Tóth, Regular Figures,p183, MacMillan Company, 1964
9. ↑ (en) F. Morgan, Soap bubbles in $\R$² and in surfaces, Pacific J. Maths, 1994
10. ↑ (en) F. J. Almgren Jr., Existence and regularity of almost everywhere of solutions to elliptic variational problems with constraints, Mem. AMS, 1976
11. ↑ (en) J. Taylor, The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces, Annals of Mathematics, 1976