Théorème de Sturm

Le théorème de Sturm permet de calculer le nombre de racines réelles distinctes d'une fonction polynôme comprises dans un intervalle donné. Ce théorème a été établi en 1829 par Charles Sturm.

Énoncé du théorème

Le nombre de racines réelles distinctes dans un intervalle [a,b] d'un polynôme à coefficients réels, dont a et b ne sont pas des racines, est égal à la différence du nombre de changements de signe de la suite de Sturm aux bornes de cet intervalle.

Suite de Sturm

La suite de Sturm ou chaîne de Sturm est construite à partir des polynômes $P_0=P~$ et de sa dérivée $P_1=P^\prime$

$P=x^n + \ldots + a_1 x + a_0$

$P^\prime=nx^{n-1} + \ldots + a_1$

Cette suite est la séquence de résultats intermédiaires que l'on obtient en appliquant l'algorithme d'Euclide à $P_0~$ et sa dérivée $P_1~$.

Pour obtenir cette suite on calcule :

$\begin{matrix} P_0&=&P_1 Q_1 - P_2\\ P_1&=&P_2 Q_2 - P_3\\ &\ldots&\\ \end{matrix}$

Les P_i sont donc les opposés des restes successifs de la division des deux termes précédents de la suite. Si $P~$ possède uniquement des racines distinctes, le dernier terme est une constante non nulle. Si ce terme est nul, $P~$ admet des racines multiples, et on peut dans ce cas appliquer le théorème de Sturm en utilisant la suite $T_0, T_1, \ldots, T_{r-2}, 1$ que l'on obtient en divisant les $P_1, P_2, \ldots, P_{r-1}\ par\ P_{r-1}$.

Si on note $\sigma(\xi)~$ le nombre de changements de signe (zéro n'est pas compté comme un changement de signe) dans la séquence

$P(\xi), P_1(\xi), P_2(\xi),\ldots, P_r(\xi)$.

le théorème de Sturm nous dit que pour deux nombres réels $a, b~$, $a<b~$, a et b ne sont pas des racines de P, le nombre de racines dans l'intervalle $[a,b]~$ est :

$\sigma(a)-\sigma(b)~$.

On peut utiliser ce théorème pour calculer le nombre de racines réelles distinctes en choisissant de manière appropriée les bornes $a~$ et $b~$, par exemple toutes les racines réelles d'un polynôme sont dans l'intervalle $[-M, M]~$ avec :

$M=\max(1, \sum |a_i|)$.

Références

• Sur la résolution des équations numériques, par C. Sturm Sciences mathématiques et physiques, Tome VI Paris 1835 p 271-318