Théorème de Midy

En mathématiques, le Théorème de Midy, appelé ainsi en hommage au mathématicien français E. Midy^[1], est un énoncé concernant le développement décimal des fractions a/p avec p un nombre premier et a/p est le développement en décimale récurrente avec une période paire. Si la période de la représentation décimale de a/p est 2n, alors

$\frac{a}{p}=0.\overline{a_1a_2a_3\dots a_na_{n+1}\dots a_{2n}}$

et les chiffres dans le deuxième moitié du développement périodique décimal sont le complément par rapport à 9 des chiffres correspondants dans la première moitié. En d'autres mots :

a_i + a_{i + n} = 9

$a_1\dots a_n+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^n-1.$

Par exemple

$\frac{1}{17}=0.\overline{0588235294117647}\mbox{ et }05882352+94117647=99999999.$

Théorème de Midy étendu

Si k est un diviseur quelconque de la période de l'expansion décimale de a/p (avec p encore premier) alors le Théorème de Midy peut être généralisé de la manière suivante. Le Théorème de Midy étendu^[2] énonce que si une période de la représentation décimale de a/p est divisée en blocs de taille k alors la somme de ces blocs est un multiple de 10^k − 1. Qui plus est, si k vaut 2 ou 3, la somme des blocs vaut exactement 10^k − 1.

Par exemple

$\frac{1}{19}=0.\overline{052631578947368421}$

a une période 18. En divisant une période en blocs de taille 6 ou 3 et en sommant, on trouve :

052631 + 578947 + 368421 = 999999

$052+631+578+947+368+421=2997=3\times999.$

Théorème de Midy dans d'autres bases

Le théoreme de Midy et ses extensions ne dépendent pas de propriétés particulières de l'expansion décimale, car ils marchent encore dans n'importe quelle base b, a condition de remplacer 10^k − 1 par b^k − 1 et d'effectuer les opérations d'addition dans la base b. Par exemple, en octal

$\frac{1}{19}=0.\overline{032745}_8$

032₈ + 745₈ = 777₈

03₈ + 27₈ + 45₈ = 77₈.

Preuve du Théorème de Midy

De courtes preuves peuvent être données en utilisant des résultats de la Théorie des groupes. Cependant, on peut aussi démontrer ce théoreme en utilisant l'algèbre élémentaire et l'arithmétique modulaire:

Soit p un nombre premier et a/p une fraction comprise entre 0 et 1. Supposons que l'expansion de a/p en base b soit de periode l, alors

$\frac{a}{p}=[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b$

$\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=[a_1a_2\dots a_l.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b$

$\Rightarrow\frac{a}{p}b^l=N+[0.\overline{a_1a_2\dots a_l}]_b=N+\frac{a}{p}$

$\Rightarrow\frac{a}{p}=\frac{N}{b^l-1}$

ou N est l'entier dont l'écriture en base b est definie par la suite a₁a₂...a_l.

b^l − 1 est un multiple de p parce que (b^l−1)a/p est un entier. De plus, bⁿ−1 n'est pas un multiple de p pour toutes les valeurs de n plus petite que l, car sinon la periode de l'expansion en base b de a/p serait plus petite que l.

Maintenant supposons que l=hk. Alors b^l−1 est un multiple de b^k − 1. Posons b^l − 1 = m(b^k − 1), alors

$\frac{a}{p}=\frac{N}{m(b^k-1)}.$

Mais b^l−1 est un multiple de p; b^k−1 n'est pas un multiple de p (car k est plus petit que l); et p est premier; donc m doit être un multiple de p et

$\frac{am}{p}=\frac{N}{b^k-1}$

est un entier. En d'autres mots:

$N\equiv0\pmod{b^k-1}.$

Maintenant, découpons a₁a₂...a_l en h parts de taille egale a k, et posons que ces parts soient l'écriture en base b des entiers N₀...N_h − 1, alors

$N_{h-1}=[a_1\dots a_k]_b$

$N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_2k]_b$

.

.

$N_0=[a_{l-k+1}\dots a_l]_b$

Pour demontrer le Théorème de Midy étendu en base b nous devons montrer que la somme des h entiers N_i est un multiple de b^k − 1.

Comme b^k est congru a 1 modulo b^k−1, n'importe quelle puissance de b^k sera aussi congru a 1 modulo b^k − 1. donc

$N=\sum_{i=0}^{h-1}N_ib^{ik}=\sum_{i=0}^{h-1}N_i(b^{k})^i$

$\Rightarrow N \equiv \sum_{i=0}^{h-1}N_i \pmod{b^k-1}$

$\Rightarrow \sum_{i=0}^{h-1}N_i \equiv 0 \pmod{b^k-1}$

ce qui prouve Théorème de Midy étendu en base b.

Pour prouver le théorème de Midy original, il suffit de prendre la cas particulier où h = 2. N₀ et N₁ sont tous les 2 représentés par une séquence de k chiffres en base b, donc ils satisfont tous 2

$0 \leq N_i \leq b^k-1.$

N₀ et N₁ ne peuvent pas tous 2 être nuls (sinon a/p = 0) et ne peuvent pas tous 2 être egal a b^k − 1 (sinon a/p = 1), donc

0 < N₀ + N₁ < 2(b^k − 1)

et comme N₀ + N₁ est un multiple de b^k − 1, il vient que

N₀ + N₁ = b^k − 1.

Références

1. ↑ A Theorem on Repeating Decimals; W. G. Leavitt; American Mathematical Monthly, Vol. 74, No. 6 (Jun. - Jul., 1967) , pp. 669-673
2. ↑ Extended Midy's Theorem, Bassam Abdul-Baki, 2005

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