Théorème de Frobenius généralisé

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Hurwitz.

Le théorème de Frobenius généralisé (connu également sous le nom de théorème de Hurwitz^[1], bien que ce dernier en soit une forme plus générale encore) est un théorème d'algèbre générale qui étend le théorème de Frobenius de 1877.

En 1843, Hamilton a souhaité étendre les propriétés d'algèbre normée des nombres complexes en considérant des triplets de réels. Il ne put effectuer cette généralisation qu'en considérant des quadruplets de réels, et en abandonnant la commutativité du produit, il obtint les quaternions.

En 1845, Cayley poursuit l'extension de la construction à huit dimensions, en abandonnant également l'associativité du produit, compensée par les lois alternatives x(xy) = x²y et (yx)x = yx².

En 1877, Frobenius a démontré un théorème donnant une classification des algèbres à division (en) associatives de dimension finie sur le corps des réels (il s'agit de $\R$ (réels), $\Complex$ (complexes) et $\mathbb{H}$ (quaternions)).

En 1898, enfin, Hurwitz a montré que (sans même faire l'hypothèse de la dimension finie) :

Théorème — Les seules algèbres normées à division sur le corps des réels sont $\R$ (réels), $\Complex$ (complexes), $\mathbb{H}$ (quaternions) et $\mathbb{O}$ (octonions).

Nous donnons ici une démonstration de ce théorème dans le cas particulier des algèbres à division alternatives de dimension finie sur $\R$.

Lemmes préliminaires

Il est utile d'utiliser l'associateur A de x,y,z. Soit une algèbre alternative (qui satisfait les lois alternatives qui se traduisent par A(x,x,y) = A(y,x,x) = 0) sur un corps $\mathbb{K}$ et x,y,z trois éléments de cette algèbre.

Lemme 1 — L'associateur est alterné :

$A(x,y,z)=-A(y,x,z)=-A(x,z,y)=-A(z,y,x)\,$.

En effet, par la première loi alternative on a

$0=A(x+y,x+y,z)=A(x,x,z)+A(x,y,z)+A(y,x,z)+A(y,y,z)=A(x,y,z)+A(y,x,z) \,$

Lemme 2 — La loi flexible x(yx) = (xy)x est valide.

En effet, par le lemme 1, A(x,y,x) = − A(y,x,x).

Lemme 3 — Si x et y anticommutent (xy = − yx), alors x(yz) = − y(xz) et (zx)y = − (zy)x.

En effet, par le lemme 1, A(x,y,z) + A(y,x,z) = 0, et si xy + yx = 0, alors 0 = A(x,y,z) + A(y,x,z) + (xy + yx)z = x(yz) + y(xz), soit x(yz) = − y(xz). L'autre égalité se démontre de même.

Lemme 4 — L'identité de Moufang (zx)(yz) = (z(xy))z est valide.

En effet,

$\begin{align} (zx)(yz)-((zx)y)z & = A(zx,y,z) = A(y,z,zx)=y(z^2x)-(yz)(zx)\\ & = y(z^2x)-A(yz,z,x)-(yz^2)x=A(y,z^2,x)-A(yz,z,x) \\ & = A(y,z^2,x)-1(x,yz,z)=A(y,z^2,x)-x(yz^2)+(x(yz))z \\ & = A(y,z^2,x)+A(x,y,z)z-A(x,y,z^2)=A(x,y,z)z \end{align}$

D'où (zx)(yz) = A(x,y,z)z + ((zx)x)z = A(x,y,z)z − A(z,x,y)z + (z(xy))z = (z(xy))z.

Lemme 5 — En définissant par récurrence x¹ = x puis x^{n + 1} = xⁿx pour $n \in \N$, on a xⁿx^m = x^{n + m}.

Par récurrence sur m, avec la loi flexible on obtient xx^m = x^{m + 1}.

Puis par récurrence sur n, comme la propriété est vraie par définition pour m = 1, alors on peut supposer m > 1 et l'hérédité vient de l'identité de Moufang :

$x^{n+1}x^m=(xx^n)(x^{m-1}x)=xx^{n+m-1}x=x^{n+m+1} \,$.

Démonstration

Soit D une algèbre à division alternative de dimension finie sur le corps des réels.

Point 1

Si $x \in D$, alors $x^2 \in \R + \R x$.

Par le lemme 5, l'application

$\begin{matrix}\R[X]&\rightarrow&D\\X&\mapsto&x\end{matrix}$

est un morphisme d'algèbre.

La famille {1,x,x²,...} des puissances d'un élément $x\in D$ est liée. En effet, si cette famille est finie, il y a une relation du type xⁿ = x^m avec $n\neq m$ et si elle est infinie, cela vient de la dimension finie de D.

Étant donné qu'un polynôme à coefficients réels est produit de polynômes de degré un ou deux (cf. Factorisation des polynômes), et comme D n'admet pas de diviseur de zéro, on en déduit que x vérifie une équation du second degré à coefficients réels, soit $x^2 \in \R + \R x$.

Point 2

Si $D\neq\R$, alors il existe $i\in D$ tel que i² = − 1. $\Complex =\R+\R i$ est un corps isomorphe à celui des nombres complexes et $\Complex=\{x\in D |xi=ix\}$.

En effet, par le point 1, x² = ax + b avec $(a,b)\in\R^2$, d'où $(x-\tfrac{a}{2})^2\in\R$.

Ainsi, si $x\not\in\R$, il faut que $(x-\tfrac{a}{2})^2=-c^2$ avec $c\in\R$.

On en déduit que si $D\neq\R$, alors d'une part il existe $i\in D$ tel que i² = − 1, et d'autre part si $x\in D$ et xi = ix alors $x\in \R+\R i$ (en effet si $x\not\in\R$, alors $(x-\tfrac{a}{2})^2=(ic)^2$, et avec xi = ix on a

$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2-(ic)^2=\left(x-\frac{a}{2}+ic\right)\left(x-\frac{a}{2}-ic\right )=0$

soit $x=\tfrac{a}{2}\pm ic$).

Notes

1. ↑ (de) A. Hurwitz, « Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln (Sur la composition de formes quadratiques d'un nombre arbitraire de variables) », dans Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1898, p. 309-316 [résumé] 

Références

• (en) Angel Oneto, « Alternative Real Division Algebras of Finite Dimension », dans Divulgaciones Matemáticas, vol. 10, n^o 2, 2002, p. 161-169 [texte intégral] 

Articles connexes

• Théorème de Frobenius
• Octonion
• Quaternion
• Associativité
• Alternativité