Théorème de Frattini

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En mathématiques, en plus précisément en théorie des groupes, le théorème de Frattini permet de préciser la structure d'une famille de groupes finis, appelée p-groupes. Il stipule que le quotient d'un p-groupe par son sous-groupe de Frattini est le produit de groupes cycliques et peut donc être muni d'un structure de F_p-espace vectoriel, appelé l'espace de Frattini.

Enoncé du théorème

Soit G un p-groupe. Soit H l'ensemble composé des éléments mous (un élément est mou^[1] si pour toute partie S telle que S et cet élément engendrent le groupe, S engendre le groupe). H est un sous-groupe caractéristique qu'on appelle sous-groupe de Frattini et G/H est isomorphe à (Z/pZ)ⁿ pour un certain n donné et peut donc être vu comme un F_p-espace vectoriel.

Preuve

• On va montrer que l'ensemble des éléments mous est égal à l'intersection de tous les sous-groupes maximaux et est ainsi un groupe.
  • Soit un sous-groupe maximal ne contenant pas le sous-groupe de Frattini. Il existerait donc un élément du sous-groupe de Frattini non contenu dans le sous-groupe maximal, et alors le sous-groupe engendré par le sous-groupe maximal et cet élément serait strictement plus grand que le sous-groupe maximal et serait donc tout le groupe en entier ce qui contredit le caractère non générateur d'un élément du sous-groupe de Frattini.
  • Soit un élément appartenant à l'intersection de tous les sous-groupes maximaux et n'appartenant pas au sous-groupe de Frattini. Soit une partie n'engendrant pas le groupe en entier, mais l'engendrant avec cet élément. Cette partie appartient au moins à un sous-groupe maximal, qui contiendrait donc la partie et l'élément, mais alors ce sous-groupe devrait être le groupe en entier ce qui contredit le fait qu'il soit un sous-groupe maximal.

• De par sa définition on remarque que le sous-groupe de Frattini est caractéristique.

• On va montrer que chaque sous-groupe maximal est distingué. Pour cela on fait agir le groupe sur l'espace des sous-groupes maximaux par conjugaison. Les orbites peuvent avoir plusieurs cardinaux.
  • Les orbites de cardinal un. Le sous-groupe maximal correspondant est alors distingué.
  • Les autres, de cardinal une puissance non triviale de p. Soient une telle orbite et un des sous-groupes H1 de cette orbite. Il agit lui aussi sur l'orbite par conjugaison et la découpe en sous-orbites. Ce groupe H1 est seul dans sa sous-orbite et comme le cardinal de l'orbite est une puissance de p il existe au moins p-1 autres sous-orbite de cardinal un. Soit un autre sous-groupe maximal H2 formant une sous-orbite de cardinal un. H2 et notre premier sous-groupe H1 engendrent le groupe entier (H1 est maximal) et donc H2 est distingué dans le groupe. Puisque H1 et H2 sont conjugués et que H2 est distingué, H1 et H2 sont identiques. Contradiction. Le cardinal de l'orbite d'un sous-groupe maximal ne peut donc pas être une puissance non triviale de p.

• On va montrer que le quotient du groupe par le sous-groupe de Frattini est commutatif en montrant que le sous-groupe dérivé est inclus dans tous les sous-groupes maximaux. Soit un sous-groupe maximal. Si le quotient par ce sous-groupe n'était pas isomorphe à Z/pZ il contiendrait alors un sous-groupe non trivial et son image réciproque par le quotient donnerait un sous-groupe strictement compris entre le sous-groupe maximal et le groupe, ce qui contredirait le caractère maximal du sous-groupe. Ainsi le quotient est un groupe cyclique, donc commutatif, donc le sous-groupe dérivé appartient au sous-groupe maximal, donc à tous les sous-groupes maximaux, donc au sous-groupe Frattini et ainsi le quotient du groupe par le sous-groupe de Frattini est commutatif.

• On va enfin montrer que tous les éléments du quotient sont d'ordre p. Si ce n'était pas le cas, on aurait l'existence d'un élément y d'ordre p². On appellera x la puissance p^ème de y, y' une image réciproque de y et x' l'image réciproque correspondante. Soit un sous-groupe maximal dont l'image ne contient pas x. Dans le quotient du groupe par ce sous-groupe maximal, x' et y' ne sont pas nuls et alors on aurait un sous-groupe non trivial engendré par l'image de x' , ce qui contredirait une fois encore le caractère maximal. Ainsi tous les éléments du quotient sont d'ordre p et donc notre groupe est isomorphe à un produit direct fini de groupes cycliques d'ordre p.

Exemple

• Soit Q le groupe quaternionique ({1,-1,i,-i,j,-j,k,-k} muni de la multiplication) alors le sous-groupe {1, -1} est le sous-groupe de Frattini et le quotient est (Z/2Z)² (ou F₂²).

Voir aussi

• P-groupe

Liens externes

• (fr) Sur une classe de p-groupes Hailé Béréda, Annales de la Faculté des sciences de Toulouse 5^e série, tome 4, n^o 2, p. 191-194

Notes et références

1. ↑ On dit aussi « superflu ». Voir Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., 1984, p. 267.