Théorème de Borel

 Ne doit pas être confondu avec Théorème de Borel-Cantelli ni Théorème de Borel-Lebesgue.

En mathématiques, le théorème de Borel^{[1],[2],[3],[4],[5]}, ou lemme de Borel^[6] est un résultat d'analyse, découvert par Émile Borel, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.

Énoncé simple

Pour toute suite (a_n) de nombres complexes, il existe une fonction f de classe $C^{\infty}$, définie au voisinage de 0, telle que :

$\forall n \in \N, \; f^{(n)}(0)=a_n.$

Conséquence

Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0, il suffit en effet de prendre la fonction f associée à la suite $\left((n!)^2\right)$.

Énoncé général

Soit U un ouvert de $\R^n$ et (f_n) une suite de fonctions de classe $C^\infty$ à valeurs complexes sur U. Alors il existe une fonction F = F(t,x) de classe $C^\infty$ à valeurs complexes sur $\R \times U$, solution de l'équation aux dérivées partielles :

$\forall k \in \N, \; \forall x \in U,\qquad\frac{\partial^k F}{\partial t^k}(0,x) = f_k(x).$

Une preuve constructiviste de ce résultat est donnée dans Golubitsky et Guillemin.

Notes et références

1. ↑ Claude Sabbah, Distributions dans le sillage de Laurent Schwartz, éd. École Polytechnique, 2003, p. 3
2. ↑ Jean-Michel Bony (de), Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, éd. École Polytechnique, 2001, p. 76
3. ↑ Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 88
4. ↑ Alain Chenciner, Courbes algébriques planes, Springer, 2007, p. 74
5. ↑ Dany-Jack Mercier et Jean-Étienne Rombaldi, Annales du CAPES externe 1999 à 2005 : 15 problèmes corrigés, Publibook, 2005, p. 127
6. ↑ Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, EDP Sciences, 1991, p. 31

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• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Borel's lemma » (voir la liste des auteurs)

Source

• (en) Martin Golubitsky et Victor Guillemin (en), Stable mappings and their singularities, New York, Springer-Verlag, coll. « GTM (en) » (n^o 14), 1974, 3^e éd., poche (ISBN 978-0-387-90073-5) (LCCN 73018276) 

Article connexe

• Sommation de Borel