Theorie des catastrophes

Théorie des catastrophes

Dans le domaine de la topologie différentielle, la théorie des catastrophes, fondée par René Thom, a pour but de construire le modèle dynamique continu le plus simple pouvant engendrer une morphologie, donnée empiriquement, ou un ensemble de phénomènes discontinus.

Plus précisément, il s'agit d'étudier qualitativement comment les solutions d'équations dépendent du nombre de paramètres qu'elles contiennent. Le terme de "catastrophe" désigne le lieu où une fonction change brusquement de forme.

La force de cette théorie par rapport au traitement habituel des équations différentielles est de tenir compte des fonctions comportant des singularités, c'est-à-dire des variations soudaines.

Sommaire

Théorème de la classification

Le résultat le plus célèbre obtenu est qu'il n'existe que sept formes de "catastrophes" possibles pour toutes les équations donnant, en fonction d'un certain nombre n de paramètres d'entrée, la valeur du potentiel V d'un système, si le nombre n de ces paramètres ne dépasse pas quatre. Chacune d'elles a reçu un nom en rapport avec sa forme :

  • Pour un paramètre (a) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
      • le pli : V = x3 + ax
  • Pour deux paramètres (a et b) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
      • la fronce : V = x4 + ax2 + bx
  • Pour trois paramètres (a, b et c) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
      • la queue d'aronde : V = x5 + ax3 + bx2 + cx
    • deux variables (x et y) en sortie :
      • l'ombilic hyperbolique (la vague) : V = x3 + y3 + axy + bx + cy              ou bien
      • l'ombilic elliptique (le poil) : V = x3 / 3 − xy2 + a(x2 + y2) + bx + cy
  • Pour quatre paramètres (a, b, c et d) en entrée et ...
    • une variable (x) en sortie :
      • le papillon : V = x6 + ax4 + bx3 + cx2 + dx
    • deux variables (x et y) en sortie :
      • l'ombilic parabolique (le champignon)  : V = x2y + y4 + ax2 + by2 + cx + dy

Avec cinq paramètres, il existe encore quatre formes de catastrophes ; ainsi, avec au plus cinq paramètres, il n'existe que onze formes de catastrophes distinctes. Quand il y a six paramètres ou plus, la classification des catastrophes devient infinie - des 'modules' apparaissent.

Applications

Ses applications sont d'abord en simulations d'objets naturels.

On la retrouve aussi dans d'autres domaines : géologie, mécanique appliquée, hydrodynamique, optique géométrique, physiologie, biologie, linguistique.

Erik Christopher Zeeman a, de façon controversée, étendu son application aux sciences humaines.

Voir aussi

Bibliographie

  • René Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse, Interédition, Paris, 1977
  • René Thom, Paraboles et catastrophes, Éd. Champs Flammarion n°186, 1983
  • René Thom, Prédire n'est pas expliquer, Éd. Champs Flammarion n°288, 1993
  • (en) Vladimir Arnol'd. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

Liens

  • La Recherche N° 81 Septembre 1977, Volume 8, Pages 745-754 (Ivar Ekeland) Cet article didactique contient des figures. Attention : il y a un lapsus dans l'article de Ekeland : la classification des catastrophes élémentaires est toujours finie (avec onze formes, comme indiquées ci-dessus) quand cinq paramètres sont présents. Ainsi le théorème de Thom n'est pas une explication possible du fait que notre espace-temps soit de dimension quatre, comme le suggérait Ekeland à tort !

Articles connexes


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