Theoreme de representation de Riesz

Théorème de représentation de Riesz

Il existe en analyse fonctionnelle plusieurs théorèmes nommés théorème de représentation de Riesz, en l'honneur du mathématicien Frigyes Riesz.

Le théorème de représentation de Riesz dans les espaces de Hilbert

Ce théorème est aussi parfois appelé théorème de Fréchet-Riesz.

Énoncé

Soient :

• H un espace de Hilbert muni de son produit scalaire noté $\langle.,.\rangle$
• $f \in H'$ une forme linéaire continue sur H.

Alors il existe un unique y dans H tel que pour tout x de H on ait $f(x)=\langle y,x\rangle$.

$\exists\,!\ y \in H\,, \quad \forall x\in H\,, \quad f(x) = \langle y,x\rangle$

Démonstration

ker(f) (noyau de l'application linéaire f) est un sous-espace vectoriel de H. De plus comme f est continue, ker(f) est fermé car c'est l'image réciproque du fermé {0}.

Existence de y

Si $f\equiv 0$, il suffit de choisir y = 0.

Supposons $f\ne 0$, on a alors $\ker(f)\ne H$ .

ker(f) est fermé, on peut donc appliquer le théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert, qui montre que :

$H = \ker(f) \oplus \ker(f)^\bot$.

Explicitons une projection sur $\ker(f)^\bot$ :

De ce qui précède on déduit que $\ker(f)^\bot\ne\big\{ 0 \big\}$.

Soit donc $b \in \ker(f)^\bot \smallsetminus \big\{0\big\}$,

$\forall x \in H$, posons $p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b$.

Ainsi $p_x \in \ker(f)$ et en particulier $\langle b,p_x\rangle = 0$.

En développant, on obtient

$\left\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \right\rangle = 0 = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2$

D'où $f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}$.

On a finalement

$f(x) = \langle y, x \rangle$

avec $y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b$.

Unicité de y

Soient y et z deux éléments de H vérifiant $f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle$.

Pour tout $x \in H$ on a $\langle y-z, x \rangle = 0$ et en particulier $\langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0$ d'où y = z.

Remarque

De plus

$\|y\|=\|f\|^'$

.

Extension aux formes bilinéaires

Énoncé

Si a est une forme bilinéaire continue sur un espace de Hilbert $\mathcal{H}$, alors il existe un unique endomorphisme de $\mathcal{H}$, linéaire et continu que l'on note A, tel que, pour tout $(u,v)\in \mathcal{H}\times\mathcal{H}$ on ait $a(u,v)=\langle Au,v \rangle$.

$\exists !\,A\in\mathcal{L}^{C}(\mathcal{H}),\ \forall (u,v)\in\mathcal{H}\times\mathcal{H},\ a(u,v)=\langle Au,v \rangle$

Démonstration

Pour un élément u de $\mathcal{H}$ fixé, le théorème de représentation de Riesz assure de l'existence d'un unique A_u dans $\mathcal{H}$ tel que $a(u,v)=\langle A_u,v\rangle$ pour tout $v\in\mathcal{H}$.

On pose $A:u\mapsto A_u$ défini tel que décrit ci-dessus. Pour tous v,u₁,u₂ de $\mathcal{H}$ et tout réel λ on a

$\langle A(u_1+\lambda u_2),v\rangle=a(u_1+\lambda u_2,v)=a(u_1,v)+\lambda a(u_2,v)=\langle A(u_1)+ \lambda A(u_2),v\rangle$

donc A est linéaire.

La forme a est continue, donc lipschitzienne. Soit c une constante de Lipschitz de a.

$|a(u,v)|\le c\|u\| \|v\| \Longrightarrow |\langle A u,v \rangle|\le c\|u\| \|v\|$.

Pour v = Au, on a $\|A u\|\le c\|u\| \Longrightarrow A$ continu.

Le théorème de représentation de Riesz en théorie de la mesure

Le théorème de représentation de Riesz est fondamental en théorie de la mesure, et permet entre autres une construction efficace de la mesure de Lebesgue à partir de l'intégrale de Riemann. Il est connu que l'intégrale sur un espace topologique X associée à une mesure de Borel quelconque μ est une forme linéaire positive sur l'espace vectoriel C_c(X) des fonctions réelles, continues et à support compact définies sur X. Le théorème de représentation de Riesz établit sous certaines hypothèses la réciproque de cette propriété : on se donne une forme linéaire sur C_c(X), et on veut savoir si elle correspond à l'intégrale associée à une mesure μ.

Énoncé

Soit X un espace séparé localement compact, et soit Λ une forme linéaire positive sur C_c(X). Alors il existe une tribu $\mathfrak{M}$ contenant les boréliens, et une unique mesure μ sur $\mathfrak{M}$ telles que :

1. $\forall f \in C_c(X)$, $\Lambda(f) = \int f\mathrm d\mu$
2. Pour tout compact K de X, $\mu(K)<\infty$
3. Pour tout $E\in\mathfrak{M}$, $\mu(E)=\inf \{\mu(V), E\subset V {\rm ouvert}\}$
4. Pour tout E ouvert de X ou appartenant à $\mathfrak{M}$ et vérifiant $\mu(E)<\infty$, $\mu(E)=\sup\{\mu(K), K\subset E, K \text{ compact}\}$

La mesure μ est construite comme suit^[1] :

• Pour tout ouvert V de X, on pose $\mu(V) = \sup\{\Lambda(f)\}$ où f décrit l'ensemble des fonctions à valeurs dans [0,1] et dont le support est compact et inclus dans V.
• Pour toute partie E de X, on pose $\mu(E) = \inf\{\mu(V), E \subset V {\rm ouvert }\}$
• La tribu $\mathfrak{M}$ est constituée des parties E de X telles que, pour tout compact K, $\mu(E \cap K) = \sup\{\mu(K'), K' {\rm compact } \subset E \cap K \}$

Notes et références

1. ↑ Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : cours et exercices [détail des éditions]

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