Theoreme de Moivre-Laplace

Théorème de Moivre-Laplace

Une planche de Galton illustre le fait que la loi binomiale tend vers la loi normale

Le Théorème de Moivre-Laplace stipule que si la variable S_n suit une loi binomiale d'ordre n et de paramètre 0 < p < 1, alors pour n suffisamment grand la variable

$Z_n = \frac{(S_n-np)}{\sqrt{np(1-p)}}$

converge en loi vers une loi normale centrée et réduite N(0, 1).

Autrement dit si S_n suit une loi binomiale la probabilité d'avoir au plus s succès est donné par:

$\operatorname{P}(S_n \le s) = \sum_{k=0}^{\lfloor s \rfloor}{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}$

Et si Φ est la fonction de répartition de N(0,1) on a alors:

$\lim_{n\to\infty}\operatorname{P}(S_n \le s) = \Phi \left( \frac{s - np}{\sqrt{np(1-p)}} \right)$

Cette convergence est bonne en général pour np(1 − p) > 9.

Abraham de Moivre fut le premier à l’établir dans le cas particulier p = 1 / 2 en 1733, tandis que Pierre-Simon Laplace a pu le généraliser pour toute valeur de p en 1812. Il s'agit d'un cas particulier du Théorème de la limite centrale.

Voir aussi

• Convergence de variables aléatoires
• Théorème de la limite centrée
• Planche de Galton

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