Theoreme de Jordan-Holder

Théorème de Jordan-Hölder

Définition

Soit G un groupe. On appelle suite de composition de G toute suite finie de sous-groupes $(G_{i})_{0 \leq i \leq n}$ telle que

$G = G_{0} \supseteq G_{1} \supseteq \ldots \supseteq G_{n} = 1$

et que, pour chaque i ($0 \leq i \leq n-1$), G_{i + 1} soit distingué dans G_i.

Soient $\Sigma _{1} = (G_{i})_{0 \leq i \leq r}$ et $\Sigma _{2} = (H_{j})_{0 \leq i \leq s}$ deux suites de composition d'un même groupe G. On dit que Σ₂ est un raffinement de Σ₁, ou encore que Σ₂ est plus fine que Σ₁, si Σ₁ est extraite de Σ₂, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j₀ < j₁ ... < j_r = s tels que $G_{i} = H_{j_{i}}$ pour tout i ($0 \leq i \leq n-1$).

Soit Σ une suite de composition d'un groupe G. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même;
b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples.

On appelle suite de Jordan-Hölder une suite de composition dont tous les quotients sont des groupes simples, ou, ce qui revient au même, une suite de composition strictement décroissante qui n'a pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même.

Soient $(G_{i})_{0 \leq i \leq r}$ et $(H_{j})_{0 \leq i \leq s}$ deux suites de composition d'un même groupe G. On dit que ces deux suites de composition sont équivalentes si r = s et qu'il existe une permutation σ de l'ensemble $\{0, 1, \ldots , r-1\}$ telle que pour tout i ($0 \leq i \leq r-1$), le quotient G_i / G_{i + 1} soit isomorphe au quotient H_σ(i) / H_{σ(i) + 1}.

Exemples

• Pour tout groupe G non trivial (c'est-à-dire non réduit à l'élément neutre), la suite G, {e} est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple.
• $S _ 3 \supset A _ 3 \supset \{e\}$ est une suite de Jordan-Hölder.
• On démontre que si un groupe admet une suite de Jordan-Hölder, toute suite de composition de ce groupe admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.
• Un groupe est résoluble si et seulement il admet une suite de composition dont tous les quotients (G_i+1/G_i) sont commutatifs. On prouve que si un groupe résoluble G admet une suite de Jordan-Hölder (ce qui est le cas si G est fini), chaque groupe quotient de cette suite est cyclique d'ordre premier (et G est donc fini). Galois montra qu'une équation polynomiale à une variable est résoluble par radicaux si et seulement si son groupe de Galois est résoluble.
• Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder.

Le théorème de Jordan-Hölder

Deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.

Exemples

• Pour le groupe des nombres modulo 6, on a les deux suites de Jordan-Hölder suivantes :
  • $\left\{ 0 \right\} \subset \left\{ 0 , 2 , 4 \right\} \subset \mathbb Z / 6 \mathbb Z$
  • $\left\{ 0 \right\} \subset \left\{ 0 , 3 \right\} \subset \mathbb Z / 6 \mathbb Z$

dont les quotients sont Z/3Z puis Z/2Z pour la première et Z/2Z puis Z/3Z pour la seconde.

Généralisation

Dans le cadre des catégories (ou structures), on peut généraliser le concept des suites de Jordan-Hölder en remplaçant les inclusions par les monomorphismes (ou fonctions injectives) qui permettent d'avoir un quotient. Mais on n'a pas forcément le théorème de Jordan-Hölder.

• Ainsi dans le cadre des espaces vectoriels un drapeau est une suite de Jordan-Hölder maximale, les quotients étant à chaque fois un espace vectoriel de dimension 1. Le théorème est valide et la taille d'une suite maximale est la dimension de l'espace vectoriel.

Liens externes

(en) Could Jordan have proved the Jordan-Hölder theorem? par Dirk Schlimm

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