Système différentiel linéaire

Système linéaire

Un système linéaire est un modèle de système qui applique un opérateur linéaire à un signal d'entrée. Un système linéaire affiche typiquement des caractéristiques et des propriétés beaucoup plus simples que le cas général non-linéaire.

C'est une abstraction mathématiques très utile en automatique, traitement du signal, mécanique et télécommunications. Les systèmes linéaires sont ainsi fréquemment utilisés pour décrire un système non linéaire, soit en ignorant les petites non-linéarités dans l'hypothèse des petits mouvements (voir Systèmes oscillants à un degré de liberté), soit en procédant à une linéarisation optimisée dans le cas contraire.

Si le système est régi par le principe de superposition, on parle de système linéaire. Quelle que soit la nature mathématique des équations qui le décrivent, il peut être caractérisé par sa réponse impulsionnelle ou sa fonction de transfert.

Si le système est en plus invariant, alors on parle d'un SLI (Système linéaire invariant), qui est à la base des méthodes de la réponse impulsionnelle et de la réponse fréquentielle. Les équations différentielles des systèmes linéaires invariants se prêtent bien à l'analyse en utilisant la transformée de Laplace dans le cas continu, et la transformée en Z dans le cas discret

Principe de superposition

Un système déterministe peut généralement être décrit par un opérateur H qui associe l'entrée x(t) fonction de t à la sortie y(t). Les systèmes linéaires vérifient le principe de superposition :

Soit deux entrées valides $x_1(t)\$ et $x_2(t)\$ et les sorties correspondantes :

$y_1(t) = H \left( x_1(t) \right)$

$y_2(t) = H \left( x_2(t) \right)$

alors un système linéaire doit vérifier :

$H \left( \alpha x_1(t) + \beta x_2(t) \right) = \alpha H \left( x_1(t) \right) + \beta H \left( x_2(t) \right)= \alpha y_1(t) + \beta y_2(t)\ \forall \alpha , \beta \in \mathbb{R}$

Ce résultat se généralise alors à un nombre quelconque d'excitations. En d'autres termes, si on sait décomposer une excitation en une somme de fonctions simples, il sera éventuellement possible de calculer la réponse correspondante en additionnant des réponses individuelles calculables explicitement. Cette propriété mathématique rend la résolution des équations de modélisation plus simple que de nombreux systèmes non linéaires.

Fonction de transfert

Généralités

Au lieu de calculer explicitement la réponse du système dans le temps, il est souvent plus intéressant de déterminer son contenu en fréquences, le passage d'un domaine à l'autre se faisant à l'aide de la transformation de Fourier. On montre en mathématiques que la transformée d'une convolution est simplement le produit des transformées. En utilisant les lettres majuscules correspondantes pour ces dernières, on obtient l'équation suivante dans laquelle H(ω) s'appelle Réponse en fréquence du système :

$Y(\omega) = H(\omega) X(\omega)\,$

Cas d'une excitation sinusoïdale

L'énergie d'une sinusoïde est concentrée sur une seule fréquence. En termes de transformée de Fourier, elle est représentée par un delta positionné sur cette fréquence (une analyse plus rigoureuse conduit à considérer deux deltas complexes). La formule précédente transforme le delta d'entrée en un autre delta correspondant à une autre sinusoïde de même fréquence, ce qui donne la signification physique de la fonction de transfert.

D'après la linéarité, celle-ci fait donc correspondre à une somme de sinusoïdes une autre somme de sinusoïdes qui possèdent les mêmes fréquences (au contraire, un système non-linéaire crée de nouvelles fréquences). Dans le cas d'un signal périodique, il s'agit de sinusoïdes d'amplitudes finies. On considérera ci-dessous deux cas dans lesquels interviennent des sinusoïdes infiniment petites (voir à ce propos Analyse spectrale).

Cas d'une excitation transitoire

La formule précédente s'applique directement à une telle excitation, souvent dite à énergie totale finie, munie d'une transformée de Fourier.

Cas d'une excitation à variance finie

La notion de fonction de transfert s'applique aussi, au prix de quelques modifications, à une excitation par un signal à variance finie ou puissance moyenne finie, possédant une densité spectrale. La notion de processus stochastique permet alors de déterminer de manière plus ou moins précise les caractéristiques de la réponse. Si on peut supposer que l'excitation est gaussienne, la linéarité du système entraîne la même propriété pour la réponse, ce qui fournit des outils pour une description statistique précise.

Autre expression de la fonction de transfert

Dans certains domaines, on s'intéresse moins à la réponse à une excitation donnée qu'à la stabilité du système. Dans ce cas, on utilise une expression légèrement différente déduite de la transformation de Laplace.

Voir aussi

• Approche systémique
• Système dynamique

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