Automorphisme de Frobenius

Endomorphisme de Frobenius

En mathématiques, et plus précisément en théorie des anneaux, l'endomorphisme de Frobenius, nommé ainsi en l'honneur de Georg Ferdinand Frobenius, est un endomorphisme d'anneau défini de façon naturelle à partir de la caractéristique.

Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classe. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un automorphisme.

Il est généralement utilisé en théorie algébrique des nombres, par exemple pour la démonstration de la loi de réciprocité quadratique.

Sommaire

Définition

Soit A un anneau commutatif unitaire ayant pour caractéristique un nombre premier p>0\,. L'endomorphisme de Frobenius est l'application définie par:

\begin{matrix}Frob_A &:&  A& \to& A\\ && x &\mapsto &x^p\end{matrix}

Elle est souvent noté Frob s'il n'y a pas d'ambiguïté et FrobA dans le cas contraire.

  • Un élément de Frobenius est une puissance de l'endomorphisme de Frobenius pour la loi de composition des applications.
  • L' automorphisme de Frobenius désigne l'endomorphisme de Frobenius s'il est bijectif.

Si l'endomorphisme de Frobenius est bijectif, il en est de même pour chaque élément de Frobenius, l'ensemble des éléments forment alors un sous-groupe du groupe des bijections de l'anneau, d'où la définition suivante:

  • Dans le cas de la bijection, le groupe de Frobenius est l'ensemble des éléments de Frobenius munis de la loi de composition des applications.

Propriétés

Morphisme

  • L'endomorphisme de Frobenius est un morphisme d'anneau.

Les propriétés de morphismes multiplicatifs sont évidentes, en effet, comme l'anneau est commutatif:

\forall a,b \in A \quad Frob_A(a.b)=(a.b)^p=a^p.b^p=Frob_A(a).Frob_A(b)

De plus si a est un élément inversible de l'anneau, alors:

Frob_A(a^{-1})=a^{-p}=(a^p)^{-1}=Frob_A(a)^{-1}\;

Pour la structure de groupe additif la formule du binôme de Newton montre l'égalité suivante:

\forall a,b \in A \quad Frob_A(a+b)=(a+b)^p=\sum_{k=0}^p {p \choose k} a^{n-k} b^k

Or l'analyse des diviseurs des coefficient binomiaux montre que tous sont des multiples de p à l'exception du premier et du dernier (cf Diviseurs et coefficients binomiaux). Ce résultat est la conséquence de l'égalité suivante, comme p ne divise pas k il divise le coefficient du binôme d'après le lemme d'Euclide :

k.{p \choose k}=p.{p-1 \choose k-1}.

Cette propriété montre que:

\forall a,b \in A \quad Frob_A(a+b)=(a+b)^p=a^p+b^p=Frob_A(a)+Frob_A(b)

Si p est différent de deux, alors comme il est premier il n'est pas multiple de 2. En conséquence:

Frob_A(-a)=(-a)^p=-(a^p)=-Frob_A(a)\;

Si p est égal à deux, alors tout élément est égal à son opposé et FrobA(-a) est encore égal à -FrobA(a).

Injectivité et surjectivité

Si l'anneau est intègre, alors par définition zéro n'admet pas de diviseur autre que lui-même. En conséquence une puissance d'un élément est nul si et seulement si cet élément est nul.

Dans le cas ou la structure est de cardinal fini, alors l'injectivité impose la surjectivité car l'ensemble de départ est le même que celui d'arrivée. L'application est alors une permutation. Ce qui démontre la proposition suivante:

  • Si l'anneau A est intègre et fini, l'endormorphisme est une bijection. On parle alors d'automorphisme de Frobenius

Point fixe

Le corps premier \mathbb F_p possède pour éléments les itérés de l'unité. C'est un corps premier à p éléments (cf corps fini). Comme P* est un groupe à p - 1 éléments, le petit théorème de Fermat s'applique, en conséquence:

\forall a \in \mathbb F_p \quad a^p=a \quad ou \quad Frob_A(a)=a\;

La démonstration est la même que celle du petit théorème de Fermat, le théorème de Lagrange indique que tout sous-groupe d'un groupe fini divise le cardinal du groupe. En conséquence le groupe monogène engendré par a, un élément du corps premier, est un groupe d'ordre d un diviseur de p -1 et ad = 1 et donc ap-1 = 1.

  • Tout élément du corps premier est invariant par l'endormorphisme de Frobenius.

Dans le cas ou l'anneau est intègre, alors le polynôme Xp - X ne peut posséder plus de racines que son degré. Il possède donc exactement les racines de son corps premier.

  • Si l'anneau est intègre les seuls points fixes de l'endormorphisme de Frobenius sont les éléments du corps premier.

Une conséquence directe est le fait suivant:

  • L'endormorphisme de Frobenius est un endomorphisme d'espace vectoriel sur A ou A est considéré comme un \mathbb F_p espace vectoriel.

La dernière proposition se traduit de la manière suivante:

\forall (\alpha_i) \in \mathbb F_p^n \; \forall (u_i) \in A^n \quad Frob_A(\sum_{i=1}^n \alpha_i.u_i)=\sum_{i=1}^n \alpha_i.Frob_A(u_i)

Cette dernière égalité donne l'identité remarquable sur les polynômes à coefficients dans \mathbb F_p:

\forall P[X] \in \mathbb F_p[X] \quad P[X^p]=(P[X])^p

Théorie de Galois

Articles détaillés : Corps fini et Théorie des corps de classe.

Dans le cas des corps commutatifs de caractéristique p ou p est premier, l'endomorphisme de Frobenius apparaît comme un élément du groupe de Galois. Comme ce groupe est essentiel à la compréhension de la structure du corps. Il représente un outil largement utilisé.

Dans le cas des corps finis, toutes les extensions sont séparables d'après le paragraphe précédent, elles sont aussi normales et donc en conséquence galoisiennes. L'automorphisme de Frobenius apparaît alors comme le générateur du groupe de Galois. Cette raison amène la définition suivante:

  • Un élément de Frobenius est un élément du groupe engendré par l'endomorphisme de Frobenius.

Tout élément du groupe de Galois est donc un élément de Frobenius dans le cas des corps finis. Si le corps est fini, alors il est une extension finie de \mathbb F_p, si n est sa dimension, alors le cardinal du corps est pn et le groupe de Galois est d'ordre n. Il existe alors n éléments de Frobenius formant un groupe cyclique.

Le sous-corps des éléments invariants par un élément de Frobenius d'ordre l est le sous-corps \mathbb F_q ou q est égal à pn / l. Toutes ces propriétés sont démontrées dans l'article sur les corps finis.

Dans le cas des extensions infinies, les éléments de Frobenius jouent aussi un rôle majeur. Ils sont particulièrement utilisés pour comprendre comment les idéaux premiers se décomposent dans les extensions abéliennes.

Applications

Les applications sont nombreuses, l'endomorphisme de Frobenius apparaît comme un outil indispensable pour l'analyse des anneaux commutatifs unitaires intègres de caractéristique p si p est premier. On peut citer comme exemple l'analyse de la séparabilité ou encore celles des polynômes minimaux dans un corps fini.

Polynôme et Séparabilité

Article détaillé : Extension séparable.

L'objet est ici de démontrer le théorème :

  • Un corps commutatif de caractéristique p est parfait si et seulement si son endormorphisme de Frobenius est bijectif.

et son corollaire, dû au fait que l'endomorphisme de Frobenius est bijectif sur tout corps fini, et que de plus un tel corps est commutatif d'après le théorème de Wedderburn :

On peut remarquer que l'ensemble A[X] des polynômes à coefficients dans A est aussi un anneau commutatif intègre et de caractéristique p. L'application FrobA[X] est donc définie et c'est un endomorphisme injectif d'anneau. Les propriétés de morphisme permettent de déduire la propriété suivante:

\forall (a_i) \in A^{n+1} \quad  Frob_{A[X]}(\sum_{i=0}^n a_i.X^i)=\sum_{i=0}^n a_i^p.X^{pi}\;

Si A est le corps premier \mathbb F_p, comme les scalaires sont invariants par l'endomorphisme de Frobenius, l'égalité devient:

\forall P[X] \in \mathbb F_p[X] \quad  Frob _{\mathbb F_p[X]}(P[X])=P[X^p]\;

L'endomorphisme de Frobenius n'est pas surjectif car l'ensemble d'arrivée ne contient que des termes en puissance de p.

L'endormorphisme de Frobenius sur les polynômes permet d'analyser la séparabilité des polynômes. Un polynôme est dit séparable si et seulement s'il n'admet pas de racine multiple dans son corps de décomposition. Or un polynôme irréductible n'est séparable que si sa dérivée formelle est non nulle. Dans un anneau de caractéristique p, cette proposition, démontrée dans l'article Extension séparable se traduit par:

  • Un polynôme irreductible P[X] est séparable si et seulement s'il n'existe pas de polynôme Q[X] dans A[X] tel que l'on ait l'égalité P[X]=Q[Xp].

En effet, si le polynôme Q[X] existe avec la propriété de l'énoncé, alors la dérivée de P[X] vérifie l'égalité suivante:

P'[X]=p.Q'[X^p].X^{p-1}\;

Comme A est de caractéristique p, le polynôme dérivé est nul et P[X] n'est pas séparable. Ce calcul montre en particulier qu'aucun polynôme dérivé n'a de terme non nul de degré pk-1, pour k entier. Réciproquement si P[X] n'est pas séparable, alors P' [X] n'est pas nul, donc il existe un degré i, non multiple de p par la remarque précédente, tel que le coefficient ai du terme de degré i-1 est non nul, et, par intégration, P[X] a un terme de degré i non nul. Puisque i n'est pas multiple de p, on a la non existence voulue.

On remarque ensuite que si l'endomorphisme de Frobenius sur A est bijectif, alors tous les polynômes de la forme Q[Xp] admettent un antécédent par l'endomorphisme sur A[X].

  • Si l'endormorphisme de Frobenius est bijectif, alors l'ensemble des polynômes non séparables est l'ensemble d'arrivée de l'endomorphisme. En particulier, tous ces polynômes sont des puissances pèmes et donc ne sont pas irréductibles sur A[X].

On a ainsi montré que si un corps de caractéristique p admet un endomorhisme de Frobenius bijectif, alors tous les polynômes irréductibles sur ce corps sont séparables, et donc le corps est parfait.

Réciproquement si l'endomorphisme de Frobenius n'est pas surjectif sur un corps K, il existe un élément a qui ne possède pas de racine pieme. Considérons le polynôme P[X]=Xp-a. Soit L le corps de rupture sur K de P[X] et r sa racine. Comme la dérivée formelle de P[X] est nulle, la racine est une racine multiple d'ordre p, et donc le polynôme n'est pas séparable. Montrons que P[X] est irréductible. Soit D[X] un diviseur irréductible de P[X] dans l'anneau K[X]. On a alors D[X]=(X-r)k dans L[X] pour un certain entier k, qui ne peut être égal à 1, sinon la racine r de a est dans K, et c'est une contradiction ; et D[X] n'est donc pas séparable. Alors la première proposition du paragraphe garantit l'existence d'un polynôme Q[X] tel que D[X]=Q[Xp], et donc, son degré k est un multiple de p, d'où k=p, ce qui est le résultat attendu : il existe donc une extension L contenant un élément non séparable.

Polynôme minimal et corps fini

Dans le cas des corps finis, l'automorphisme de Frobenius permet la détermination de tous les polynômes minimaux. Dans ce paragraphe, le corps considéré est \mathbb F_qq est égal à pn avec p premier et n un entier strictement positif. \mathbb F_q est considéré comme une extension de \mathbb F_p et l'objectif est la détermination des polynômes minimaux des éléments de \mathbb F_q.

L'automorphisme Frobn est égal à l'identité, ce qui montre que le polynôme Xq - X a pour racines tous les éléments de \mathbb F_q. Ce polynôme a pour degré le cardinal du corps, en conséquence l'ordre de multiplicité de chaque racine est exactement un. Ceci démontre que :

  • Chaque polynôme minimal d'un élément \mathbb F_q apparaît une et une seule fois dans le polynôme Xq - X. En conséquence tout polynôme minimal différent de X est cyclotomique.

La définition suivante permet d'affiner l'analyse :

  • Deux éléments de \mathbb F_q sont dit conjugués si et seulement s'ils ont même polynôme minimal.

La conjugaison apparaît comme une classe d'équivalence sur \mathbb F_q. Le cardinal d'une classe d'équivalence est égal au degré du polynôme minimal associé. Les propriétés de morphismes de l'application de Frobenius montre l'égalité suivante :

\forall P[X] \in \mathbb F_p[X] \; \forall l \in \mathbb Z \quad Frob^l (P[X])=P[Frob^l(X)]

On en déduit que l'image d'une racine d'un polynôme minimal M[X] par un élément de Frobenius est une racine de M[X]. Réciproquement l'image d'une racine par un élément de Frobenius est annulée par M[X], et M[X] est un polynôme irréductible unitaire. En conclusion, les classes de conjugaisons sont les ensembles constitués par les différentes images d'un élément par les itérés du groupe de Frobenius.

  • Les classes d'équivalences de la relation de conjugaison sont les orbites de l'action de groupe du groupe des éléments de Frobenius.

Il devient alors possible de déterminer exactement le nombre de polynômes minimaux pour de degré n ainsi que le nombre de polynômes primitifs, c’est-à-dire les polynômes dont les racines engendrent toute le groupe multiplicatif du corps. Un élément a de \mathbb F_q admet un polynôme minimal si et seulement si \mathbb F_p[a] est égal à \mathbb F_q. Sinon \mathbb F_p[a] apparaît comme un espace vectoriel sur \mathbb F_p dont la dimension divise celle de \mathbb F_q (cf Extension algébrique). En conclusion :

  • Soit p un nombre premier et n un entier strictement positif. Le nombre de polynômes à coefficients dans \mathbb F_p irréductibles et de degré n est égal à la fraction de numérateur q moins le nombre d'éléments de \mathbb F_q appartenant aussi à un de ses sous-corps stricts et de dénominateur nq est égal à pn.

L'article sur les corps finis montre qu'un élément de \mathbb F_q est primitif si et seulement s'il est généraleur du groupe mutiplicatif \mathbb F_q^*. Il existe donc φ(pd -1) éléments primitifs. Ce qui démontre la proposition suivante:

  • Soit p un nombre premier et n un entier strictement positif. Le nombre de polynômes à coefficients dans \mathbb F_p primitifs et de degré n est égal à d -1φ(pd -1) si φ désigne l'indicatrice d'Euler.

Deux exemples sont donnés dans le paragraphe Polynôme irréductible de l'article corps fini.

Références

  • Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres [détail des éditions]
  • Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
  • Serge Lang, Algèbre, Dunod, 2004, 926 p. (ISBN 2100079808) [détail des éditions]
  • G. Heuzé, Sur les corps finis, Mathématiques et Sciences Humaines, 1974
  • André Warusfel, Structures algébriques finies, Hachette Université, 1971

Voir aussi

Liens externes

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