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Suite de Padovan

Suite de Padovan
Construction d'une suite de Padovan à l'aide de triangles équilatéraux

La suite de Padovan est une suite d'entiers définie par récurrence par

\mathcal{P}_{n+3}=\mathcal{P}_{n+1}+\mathcal{P}_{n}\,, pour tout entier n

C'est une suite récurrente linéaire qui ressemble dans sa forme à la suite de Fibonacci, à une nuance près : la somme des termes de rang n et n+1 ne donne pas le terme de rang n + 2 mais celui de rang n + 3

Lorsque les trois valeurs initiales[1] sont

\mathcal P(0) = \mathcal P(1) = \mathcal P(2) = 1

la suite des premiers termes est

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4 , 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, ...

La suite porte le nom de l'architecte Richard Padovan (en) et est associée au nombre plastique étudié par l'architecte puis moine Hans van der Laan[2]. Le mathématicien Ian Stewart, dans ses Mathematical Recreations, évoque et étudie cette suite et lui attribue le nom de suite de Padovan[3].

Le terme général de la suite de Padovan est lié au trois racines du polynôme de degré trois x3 − x − 1. Ce polynôme possède une racine réelle r1 et deux racines complexes conjugués r2 et r3

Lorsque les trois premiers termes sont 1, 1 et 1, on a

\mathcal P(n) = \frac{(1-r_2)(1-r_3)}{(r_1-r_2)(r_1-r_3)}r_1^n + \frac{(1-r_3)(1-r_1)}{(r_2-r_3)(r_2-r_1)}r_2^n + \frac{(1-r_1)(1-r_2)}{(r_3-r_1)(r_3-r_2)}r_3^n

Les formules de Cardan donnent pour la racine réelle :

r_1=\frac{\left(9-\sqrt{69}\right)^{1/3}+\left(9+\sqrt{69}\right)^{1/3}}{18^{1/3}}\approx 1,32472

Ce nombre s'appelle nombre plastique ou nombre d'argent.

Cette suite d'entiers est toujours strictement croissante à partir du rang trois et le quotient de deux termes consécutifs tend vers le nombre plastique.

Lorsque ses trois premiers termes sont 1, 1 et 1, sa fonction génératrice est :

F(X)=\frac{1+X}{1-X^2-X^3}

Propriété remarquable en lien avec les nombres premiers

En prenant \mathcal P(0) = 3, \mathcal P(1) = 0 et \mathcal P(2) = 2, on a les propriétés suivantes :

  • Si n est un nombre premier, p(n) est un multiple de n.
  • Il semble que (non démontré) pour la grande majorité des entiers n, si p(n) est un multiple de n, alors n est un nombre premier. Il n'y a que 3 exception pour n <1 000 000, dont la valeur n=1.
Article détaillé : Nombre de Perrin.

Références

  1. ↑ On trouve parfois une initialisation différente comme dans la suite A000931 de l’OEIS.
  2. ↑ (en) Richard Padovan presents the plastic number, résumé du Nexus Network Journal
  3. ↑ (en) Tales of a Neglected Number, dans Mathematicla Recreations de Ian Stewart

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Padovan sequence », MathWorld


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