Structure fine

Structure fine de l'hydrogène : influence de la levée partielle de la dégénérescence du niveau d'énergie n = 2 sur la raie Lyman-α.

En physique atomique, la structure fine de la raie spectrale d'un atome correspond à sa séparation en plusieurs composantes de fréquences très proches, détectables par un spectroscope de bonne résolution.

Cette structure s'explique dans le cadre de la physique quantique. Elle est due à la levée partielle de la dégénérescence d'un niveau d'énergie du modèle de Bohr en raison de trois corrections :

• le couplage du moment magnétique de spin de l'électron avec le champ magnétique généré par son mouvement (moment magnétique orbital) ;
• la prise en compte du mouvement relativiste de l'électron ;
• l'effet de la zitterbewegung de l'électron, qui fait que celui-ci ressent le champ électrique nucléaire moyen sur une région, et non de manière ponctuelle.

La découverte de la structure fine de l'hydrogène atomique a valu le prix Nobel de physique à Willis Eugene Lamb en 1955.

Correction relativiste

Dans le cas faiblement relativiste, le hamiltonien s'écrit^[1]

$H = \frac{p^2}{2m} - \frac{p^4}{8m^3c^2}$.

En partant du hamiltonien de la solution non-relativiste H₀ d'états propres $\psi_{nlm_l}$ d'énergie E_n,

$H = H_0 - \frac{1}{2mc^2} (H_0-V)^2$,

où V représente le potentiel, la théorie des perturbations permet d'écrire :

$\Delta E^\mathrm{rel}_{nlm_l} = -\frac{1}{8mc^2} \left\langle \psi_{nlm_l} | (H_0-V)^2 | \psi_{nlm_l} \right\rangle$.

Ainsi :

$\Delta E^\mathrm{rel}_{nlm_l} = -\frac{1}{8mc^2} \left( E_{n}^2 - 2E_{n} \langle\psi_{nlm_l}|V|\psi_{nlm_l}\rangle + \langle\psi_{nlm_l}|V^2|\psi_{nlm_l}\rangle \right)$

Dans le cas d'un hydrogénoïde, le potentiel est coulombien et les états propres non perturbés sont des harmoniques sphériques. L'expression ci-dessus devient :

$\Delta E^\mathrm{rel}_{nlm_l} = - \frac{(Z\alpha)^2}{n} \left( \frac{1}{l+1/2} - \frac{3}{4n} \right) |E_{n}|$

Zitterbewegung

Couplage spin-orbite

Origine du terme perturbatif

La mécanique quantique relativiste fait apparaître, entre autres, le fait que les électrons possèdent un spin. Celui-ci engendre un moment magnétique de spin

$\vec{M_s} = \frac{q}{m_e} \vec{S}$

Comme l'électron se déplace dans un environnement où règne le champ électrique créé par les charges du noyau et des autres électrons, d'après la relativité restreinte, l'électron, dans son référentiel, perçoit un champ magnétique appelé champ motionnel

$\vec{B'} = - \frac{\vec{v} \wedge \vec{E}}{c^2}$

L'énergie associée à cette interaction est donc

$W_{so} = - \vec{M_s} \cdot \vec{B'}$

Comme le référentiel de l'électron est en rotation et non galiléen, le calcul du champ motionnel nécessite de faire deux changements de référentiels (un en translation et un en rotation)^[2]. Le calcul fait par Thomas donne

$W_{so} = \frac{1}{2m_e^2c^2}\frac{1}{r}\frac{{\mathrm d} V}{{\mathrm d} r} \vec{L}\cdot\vec{S}$

avec $\vec{L}$ le moment cinétique de l'électron autour du noyau et $\vec{S}$ le moment cinétique de spin de l'électron.

Il est commun de noter ce terme

$W_{so} = \xi(r) \vec{L} \cdot \vec{S} {\textrm ~~avec~~} \xi(r) = \frac{1}{2m_e^2c^2}\frac{1}{r}\frac{{\mathrm d} V}{{\mathrm d} r}$

ce qui permet de mettre en valeur le terme purement radial.

Calcul en perturbation

Dans l'hypothèse où ce terme apporte une contribution faible à l'énergie devant le terme principal H₀, on peut le traiter en perturbation. Mais auparavant, il convient de remarquer que le terme $\vec{L} \cdot \vec{S}$ ne commute pas avec $\vec{L}$ et $\vec{S}$. Il est donc indispensable de trouver un nouvel Ensemble Complet d'Observables qui Commutent (ECOC). Pour ce faire, le moment cinétique total

$\vec{J} ~ \stackrel{\textrm{def}}{=} \sum \vec{L} ~~ \Leftrightarrow ~~ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}$

est utilisé en lieu et place de chaque moment cinétique et le nouvel ECOC devient H,L²,S²,J²,J_z^[3]. La base des vecteurs propres communs devient alors $\left| \psi_{nlsjm_j} \right\rangle$ avec m_j = m_l + m_s. Il en résulte

$J^2 = L^2 + S^2 + 2 \vec{L} \cdot \vec{S} ~~ \Leftrightarrow ~~ \vec{L} \cdot \vec{S} = \frac{1}{2} \left( J^2 - L^2 - S^2 \right)$

d'où

$W_{so} = \frac{1}{2} \xi(r) \left( J^2 - L^2 - S^2 \right)$

La théorie des perturbations permet d'écrire :

$\Delta E_{nlsj}^{so} = \frac{1}{2} \left\langle \psi_{nlsjm_j} \left| \xi(r) \left( J^2 - L^2 - S^2 \right) \right| \psi_{nlsjm_j} \right\rangle$

En posant

$\frac{A_{nl}}{\hbar^2} = \int_0^\infty \left| R_{nl} \right|^2 \xi(r) r^2 {\mathrm d}r$

le résultat est :

$\Delta E_{nlsj}^{so} = \frac{A_{nl}}{2} \left[ j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) \right]$

Exemple avec les alcalins

Ici s = 1 / 2 donc s(s + 1) = 3 / 4.

• Soit l = 0, alors j = s d'où $\Delta E_{nlsj}^{so} = 0$
• Soit $l \neq 0$, alors :
  • $j = l + \frac{1}{2}$ donc $\Delta E_{nlsj}^{so} = \frac{A_{nl}}{2} \times l$
  • $j = l - \frac{1}{2}$ donc $\Delta E_{nlsj}^{so} = - \frac{A_{nl}}{2} \times (l+1)$

Excepté pour les couches S, il y a une levée partielle de la dégénérescence des niveaux d'énergies. Cela se traduit par un dédoublement de ces niveaux (exemple du sodium qui possède un dédoublement de la raie d'émission jaune en deux raies respectivement à 589,0 nm et 589,6 nm).

Le barycentre des niveaux n'est pas déplacé.

Voir aussi

Articles connexes

• Constante de structure fine
• Structure hyperfine
• Décalage de Lamb

Bibliographie

• (fr) C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions], t. II, p. 958
• (en) Randal C. Telfer, Everything You Always Wanted to Know About the Hydrogen Atom (But Were Afraid to Ask) sur le site du Département de physique et d'astronomie de l'Université Johns-Hopkins, 2006 [lire en ligne]

Notes et références

1. ↑ La formule peut s'obtenir empiriquement en développant au premier ordre l'énergie cinétique donnée par la Relativité restreinte E = [p²c² + m²c⁴]^1/2 − mc². Une dérivation cohérente dans le cadre de la physique quantique se fait à partir de l'équation de Dirac.
2. ↑ Le calcul fait dans l'approximation d'un référentiel galiléen donne un résultat erroné d'un facteur $\frac{1}{2}$
3. ↑ Ici le choix de J_z comparé aux autres coordonnées est purement arbitraire et n'a aucune influence sur le résultat du calcul.