Sous-algèbre

Algèbre sur un corps

En mathématiques, une algèbre sur un corps commutatif est une structure algébrique qui se définit comme suit:

$(A, +,\cdot, \times)$ est une algèbre sur le corps $\mathbb K$, ou simplement une $\mathbb K$- algèbre si :

1. $\mathbb K$ est un corps commutatif,
2. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur $\mathbb K$,
3. la loi × est définie de A x A dans A (loi de composition interne)
4. la loi × est distributive, à gauche et à droite, par rapport à la loi + .
5. pour tout (a, b) dans $\mathbb K^2$ et pour tout (x, y) dans A², (a·x)×(b·y) = (ab)·(x×y)

Définitions

Soient $\mathbb K$ un corps commutatif et A un espace vectoriel sur $\mathbb K$ contenant l'opération binaire (c'est-à-dire $\forall x, y \in A, xy\,$, est le « produit » de x et y). Si l'opération binaire est bilinéaire, ce qui signifie que $\forall x, y, z \in A\,$ (vecteurs) et $\forall a, b \in \mathbb K\,$ (scalaires), ces identités sont vraies :

• $(x + y) z = x z + y z\,$;
• $x ( y + z) = x y + x z\,$;
• $(a x) (b y) = (a b) (x y)\,$,

alors A est une algèbre sur $\mathbb K$. On dit que A est une $\mathbb K$-algèbre où $\mathbb K$ est la base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

$\mathbb K$ peut être un anneau commutatif, dans ce cas, A et $\mathbb K$ forment un module. Dans ce cas, A est une $\mathbb K$-algèbre et $\mathbb K$ est l'anneau de base de A.

Deux algèbres A et B sur $\mathbb K$ sont isomorphes s'il existe une bijection $f : A \rightarrow B$ telle que f(xy) = f(x)f(y) $\forall x,y \in A$.

Propriétés

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Exemples

• L'ensemble des nombres complexes $(\mathbb C, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$- algèbre associative et commutative.
• L'ensemble des matrices carrées d'ordre n à valeur dans $\mathbb R$ $\left(\mathcal M_n(\mathbb R), +,\cdot, \times \right)$ est une $\mathbb R$- algèbre associative et non commutative.
• L'espace euclidien $\mathbb R^3$ muni du produit vectoriel $(\mathbb R^3, +,\cdot, \wedge)$ est une $\mathbb R$- algèbre non associative et non commutative.
• L'ensemble des quaternions $(\mathbb H, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$- algèbre associative et non commutative.
• L'ensemble des octonions $(\mathbb O, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$- algèbre non associative et non commutative.
• L'ensemble des biquaternions $(\mathbb B, +,\cdot, \times)$ est une $\mathbb R$- algèbre associative et non commutative.

Voir aussi

• Algèbre associative sur un anneau
• Algèbre sur un anneau
• Algèbre de Clifford
• Algèbre géométrique
• Algèbre de Lie

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