Augustus De Morgan

Auguste De Morgan

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Auguste De Morgan

Auguste De Morgan (né le 27 juin 1806 à Madurai (Tamil Nadu) - décédé le 18 mars 1871) fut un mathématicien britannique (né en Inde). Il est le fondateur avec Boole de la logique moderne ; il a notamment formulé les lois de De Morgan[1].

Sommaire

Enfance

Né d'un père colonel dans l'armée au service de la compagnie des Indes orientales, sa mère était une descendante de James Dodson, qui établit une table d'anti-logarithmes, c’est-à-dire les nombres correspondants pour extraire les logarithmes. À cause des révoltes, le colonel envoya sa famille en Angleterre quand Auguste avait sept mois. Dès lors il se considéra comme un Britannique au sens le plus large.

De Morgan perd son père l'année de ses dix ans. Avec sa mère qui voulait faire de son fils un religieux, ils habiteront dans diverses villes dans le sud-ouest de l'Angleterre ce qui lui fit changer souvent d'école. Ses talents mathématiques ont été découverts lorsqu'il avait quatorze ans. Un ami de la famille le trouva faisant un diagramme élaboré d'Euclide avec une règle et des compas et lui expliqua sa logique.

Auguste De Morgan avait un problème à un œil ce qui lui rendait plus difficile la pratique du sport et le rendait sujet à des moqueries. Il prétendait qu'il percevait néanmoins la distance et la solidité.

Éducation universitaire

En 1823, il entre à Trinity College (Cambridge) à Cambridge, où ses tuteurs, George Peacock et William Whewell deviennent ses amis. Il deviendra un excellent joueur de flûte, également. Dans le concours mathématique interne, il accède au statut de wrangler, ce qui lui permet d'étudier pour un bac d'art. Mais pour cela, il lui faut passer un test de théologie. Ce qu'il refusera, bien que connaissant la matière. Vers 1875 cette exigence sera abolie.

Université londonienne

Comme aucune carrière ne lui est ouverte, il décide de faire des études de droit à Londres, où une université est en création, accueillant notamment ceux qui n'étaient pas de la majorité religieuse ou réfractaire. Il y deviendra professeur de mathématiques.

Lors d'une dispute entre le professeur d'anatomie et la hiérarchie, De Morgan prit parti pour son collègue. Il fut congédié mais son successeur se noya quelques années plus tard. Il fut invité à revenir et garda ce poste pendant trente ans.

Il participa et fut l'un des plus actif à la société pour la diffusion de la connaissance utile. En 1837, il épouse Sophie Elisabeth, l'une des filles de son ami Frend.

L'université londonienne où De Morgan fut un professeur était une institution différente de l'université de Londres, qui fut fondée environ dix ans plus tard par le gouvernement. Cela obligea la première à changer son nom en université collège, Londres.

De Morgan eut beaucoup de succès pédagogique. Il faisait un cours d'une heure puis donnait un certains nombre de problèmes et d'exemples illustrés. Les étudiants devaient donner les résultats qu'il apportait corrigés à la séance suivante.

Auguste eut un fils, George, qui le suivit dans la carrière qui institua une société mathématique, où les nouveaux articles étaient non seulement écoutés, mais discutés.

Retraite

En 1866, la chaire de philosophie mentale de l'université collège devient disponible. Le docteur Martineau, un religieux unitarien et professeur de cette matière, fut recommandé par le sénat du conseil. À cause de l'opposition d'un religieux de l'école de Bain, Spencer obtint le poste. De Morgan considéra que le principe de neutralité religieuse était violé et démissionna, à l'âge de soixante ans. Ses élèves lui assurèrent une pension de 500 dollars, mais les malheurs suivirent. Deux ans plus tard, son fils George, "le jeune Bernoulli" comme il aimait l'appeler, décède, puis vient le tour d'une de ses filles. Il mourra de prostration nerveuse.

Mathématique

Auguste fut un écrivain brillant et plaisant, y compris dans sa correspondance, notamment avec William Hamilton.

Il n'aimait pas la campagne et tandis que sa famille profitait du bord de la mer, les hommes de science avaient du bon temps dans des clubs et lui restait dans des librairies poussiéreuses de la métropole. Il ne vota jamais à une élection ou ni ne visita les monuments.

La meilleure présentation de sa conception de l'algèbre est dans trigonométrie et algèbre double publiée en 1849. L'étape suivante aurait du être l'algèbre 'triple' et si a+b\sqrt{-1} représente vraiment une ligne dans un plan donné il devrait être possible de trouver un troisième terme qui ajouté aux précédent représenterait une ligne dans l'espace. Argand et quelque autres devinèrent que c'était a + b\sqrt{-1} + c\sqrt{-1}\,^{\sqrt{-1}} bien que cela contredit la vérité établie par Euler que \sqrt{-1}\,^{\sqrt{-1}}=e^{-\frac{1}{2} \pi}. De Morgan et bien d'autres travaillèrent dur au problème mais rien n'en sortit jusqu’à ce que le problème soit pris par Hamilton. Nous voyons maintenant la raison clairement: le symbole de la double algèbre dénote non une longueur et une direction mais un multiple et un angle. Dans celui ci les angles sont confinés à un plan; donc l'étape suivante devrait être une algèbre quadruple quand l'axe du plan devient variable. Et cela donne la réponse à la première question; l'algèbre double n'est rien que de la trigonométrie analytique de plan, et c'est pourquoi il a été trouvé d'être l'analyse naturelle pour des courants alternés. Mais De Morgan n'alla jamais aussi loin.

Quand l'étude des mathématiques fut réactivée à l'université de Cambridge ce fut aussi le cas de la logique. La dynamique venait de Whewell. Dans logique formelle d'Auguste est intéressant sur le développement du syllogisme. Les aristotéliciens disent qu'à partir de deux propositions particulières comme quelques M sont des A et quelques M sont des B rien n'est obtenu de nécessaire dans la relation des A et B. Mais s'ils vont plus loin et disent que toute relation à propos des A et des B doivent suivre par nécessité le terme mitoyen doit être pris universellement dans l'une des prémisses. De Morgan signala qu'à partir de la plupart des M sont des A et la plupart des M sont des B on déduit que quelques A sont des B et il formula le syllogisme numérique qui met ce principe dans une forme quantitative précise. Suppose que le nombre de M est m, des M qui sont des A est a, et des M qui sont des B est b; alors il y a au moins (a + bm) A qui sont des B. Par exemple avec 1000 personnes sur un bateau dont 500 sont dans le salon et 700 meurent il est obligatoire qu'au moins 700+500-1000, donc 200 de ceux dans le salon furent des victimes.

Ici alors De Morgan fit une avance en introduisant la quantification des termes. À ce moment Hamilton enseignait à Édimbourg une doctrine de la quantification du prédicat et une correspondance se fit. Cependant De Morgan se rendit rapidement compte que la quantification d'Hamilton était d'une autre nature; qu'il voulait dire par exemple, en substituant les deux formes tout A est tout B et tout A est une partie de B pour la forme aristotélicienne Tout A est B. Les philosophes ont généralement une grande part d'intolérance pensant qu'ils ont la totalité de la vérité. Hamilton pensa qu'il avait placé la clé de voûte dans la construction aristotélicienne bien qu'il aurait été étrange qu'elle exista pendant deux millénaires sans ce facteur essentiel. Comme conséquence il n'avait aucune place pour les innovations de De Morgan qu'il accusa d'être un plagiaire et la dispute continua entre eux pendant des années.

Budget de paradoxes

À propos de la notion de paradoxe il explique que c'est par comparaison avec la connaissance établie (acceptée par les autorités). Le budget est une sorte d'anthologie.

La loi de dualité

De Morgan est reconnu surtout pour sa redécouverte de la loi de dualité entre la somme et le produit, où « le contraire d’un agrégat (somme logique) est le composé (produit logique) des contraires des agrégants ; le contraire d’un composé est l’agrégat des contraires des composants ». Voici donc l’expression de cette loi de dualité :

  1. ~(x + y) = ~x X ~y
  2. ~(x X y) = ~x + ~y

ou encore :

  1. ¬(x ∧ y) = ¬x ∨ ¬y
  2. ¬(x ∨ y) = ¬x ∧ ¬y

Cette loi est aussi applicable au calcul des propositions en vertu de l’isomorphisme avec le calcul des classes. Il y a donc un principe de dualité entre la conjonction et la disjonction, s’exprimant comme suit :

  1. ~ (p v q) º ~p . ~q
  2. ~ (p . q) º ~p v ~q

Sources

  1. La particule « de » qui est employé deux fois n'a pas la même signification : le premier indique l'appartenance alors que la deuxième fait partie intégrante du nom de famille et n'est pas la même que celle que l'on peut retrouver dans un nom de famille français de la forme « de quelque chose », il s'agit ici du mot néerlandais « De » qui signifie « The » en anglais, c'est-à-dire « le » (voir particules des noms de famille pour plus de détails). Néanmoins il est fréquent d'entendre également les lois de Morgan bien que ce ne soit pas l'intitulé exact.
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