Simple connexité

Connexité simple

En topologie, la notion de simple connexité raffine celle de connexité : là où un espace connexe est simplement « d'un seul tenant », un espace simplement connexe est de plus sans « trou » ni « poignée ».

On formalise cela en disant que tout lacet tracé dans un espace simplement connexe doit pouvoir être réduit continûment (c'est-à-dire par homotopie) à un point.

Définition

Si $X \,\!$ est un espace topologique connexe par arcs, on dit qu'il est simplement connexe si tout lacet $\gamma \,\!$ tracé sur $X \,\!$ est homotope à un point.

Intuitivement, on peut tirer sur le lacet pour le rétrécir jusqu'à ce qu'il ne forme plus qu'un point, il n'y a pas d'obstacle (c'est-à-dire de trou).

On parle aussi de parties simplement connexes ; une partie d'un espace topologique est dite simplement connexe si, munie de la topologie induite, elle constitue un espace topologique simplement connexe.

Formulations équivalentes :

• On note $S^1 = \left\{ z \in \mathbb{C} \, | \, |z|=1 \right\} \,\!$ le cercle unité et $D = \left\{ z \in \mathbb{C} \, | \, |z|\leq 1 \right\} \,\!$ le disque unité. Un espace topologique $X \,\!$ connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si toute fonction continue $f \, : \, S^1 \rightarrow X \,\!$ peut être prolongée en une fonction continue $F \, : \, D \rightarrow X \,\!$.

Autrement dit tout plongement d'un cercle dans $X \,\!$ peut être prolongé à un plongement du disque, intuitivement on peut « colorier » l'intérieur de toute boucle tracée dans $X \,\!$.

• Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si tout couple $p, \, q : [0,1] \rightarrow X \,\!$ de chemins tracés sur $X \,\!$ sont homotopes.

• Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si son groupe fondamental est trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.

Étude d'un cas concret

La droite réelle $\R \,\!$, ainsi que tout intervalle de $\R \,\!$, est simplement connexe. Soit $\gamma \, : \, [0,1] \rightarrow \R \,\!$ une application continue telle que $\gamma \,(0)=\gamma \,(1)\!$. Considérons alors la famille de lacets $(\gamma_\alpha )_{\alpha \in [0,1]}\,$ définie par:

$\forall \alpha \in [0,1] \quad \forall x \in [0,1] \quad \gamma_\alpha (x) = \gamma(0)+\alpha (\gamma (x)- \gamma (0))\;$

La fonction $(\alpha,x)\to\gamma_\alpha(x)$ est continue ; si $\alpha = 1\;$ alors le lacet est égal à $\gamma \;$ et si $\alpha = 0\;$ le lacet est réduit à un point. Nous avons donc démontré que le lacet $\gamma \;$ est homotope à un point.

Dans le cas d'un intervalle il suffit de remarquer que:

$\forall \alpha \in [0,1] \quad \forall x \in [0,1] \quad \gamma_\alpha (x) \in [\gamma(0),\gamma (x)]\;$

Et donc tout lacet de la famille est bien définie dans l'intervalle. Nous avons donc démontré que tout lacet simple de $\R \,\!$ ou d'un de ses intervalles est homotope à un point.

Exemples

Sont simplement connexes :

• le plan complexe $\mathbb{C} \,\!$ et plus généralement tout espace vectoriel normé ;
• le disque $D \,\!$ ;
• toute partie convexe ou même seulement étoilée d'un espace vectoriel normé ;
• la sphère $S^2 = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \, | \, x^2+y^2+z^2 = 1 \right\} \,\!$ ;
• une assiette, un verre (non baveur), une fourchette.

Ne sont pas simplement connexes :

• $\R^* \,\!$ et plus généralement tout espace non-connexe ou non-connexe par arcs ;
• l'ensemble $\mathbb{C}^* \,\!$ des nombres complexes non-nuls ;
• le cercle $S^1 \,\!$ ;
• le tore $T^2 \,\!$ (ou « donut » en anglais nord-américain) ;
• le ruban de Möbius et la bouteille de Klein ;
• une tasse (avec anse), une passoire, un fouet de cuisine.

Propriétés

• Théorème : Tout revêtement d'un espace simplement connexe est un revêtement trivial.
• Théorème : Tout revêtement simplement connexe d'un espace est un revêtement universel.
• Propriété de relèvement des homotopies. Toute application f continue d'un espace simplement connexe X dans la base B d'un revêtement $\pi : Y\to B$, se relève, c'est-à-dire qu'il existe une application continue g : $X\to Y$ telle que $f=\pi \circ g$.

(à compléter)

Généralisations

Espaces localement simplement connexes (par arcs)

Un espace est localement simplement connexe lorsque tout point admet une base de voisinages simplement connexes. Les espaces localement contractiles sont localement simplement connexes.

Espaces semi-localement simplement connexes (par arcs)

Un espace est dit semi-localement simplement connexe (par arcs) si tout point admet un voisinage U où tout lacet, contenu dans U, peut être déformée en un point dans X.

Voir aussi

• Connexité (mathématiques)
• Connexité par arcs
• Homotopie
• groupe fondamental
• Topologie algébrique

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