Signature (algebre)

Signature (algèbre)

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En mathématiques, une signature pour une structure algébrique A sur un ensemble sous-jacent S est une liste d'opérations (avec leurs arités) qui caractérise A. Les signatures sont un concept important en algèbre universelle, et sont également employées en théorie des modèles, théorie des catégories et théorie des types.

Algèbre générale

Une signature est constituée de deux listes, encadrées par $\langle$ et $\rangle$, dont les éléments sont séparés par des virgules.

• Une liste commence par S suivi par les symboles des opérations qui caractérisent A. Une opération f d'arité n, où n est un entier naturel, est une fonction f: Sⁿ→S. Des éléments distingués de S, comme un élement neutre ou un élement unité, sont considérés comme des opérations d'arité 0.
• La seconde liste, composée des arités des opérations, est appelée le type de A. Les arités sont listées dans le même ordre que les opérations correspondantes.

Exemple

un groupe additif sur G possède la signature $\langle G,+,-,0 \rangle$ de type $\langle 2,1,0 \rangle$.

Algèbre linéaire

La signature d'une forme quadratique indique les signes devant les éléments de sa décomposition en carrés de formes linéaires indépendantes.
Cela se comprend mieux sur un exemple :

Exemple

Soit q(x,y,z) = 2yz + 3xz + xy.
On a $q(x,y,z) ={\color{Blue}+} \frac{1}{4} \left(x+y+5z\right)^2 {\color{Blue}-} \frac{1}{4} \left(x-y-z \right)^2 {\color{Blue}-} 6 z^2$, avec $\left(x+y+5z\right)^2$ , $\left(x-y-z \right)^2$ et z² linéairement indépendants.
Dès lors, la signature de q est $\langle +,-,- \rangle$, notée aussi $\langle 1,2 \rangle$

Voir aussi

• algèbre universelle

References

Monographie en ligne :

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3540905782. Voir en particulier pp. 22-24.

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