Atmosphère isotherme


L'atmosphère isotherme est un modèle simpliste d'atmosphère dans lequel on considère la température comme constante et égale à T0 (on peut se donner T0 = 273,15K pour les applications numériques courantes). Cette hypothèse conduit à une décroissance exponentielle de la pression p(z) avec l'altitude, en p_0 e^{-z/H_0}.

En effet, l'équation locale de la statique des fluides donne -\nabla p + \rho \mathbf{g} = \mathbf{0}, soit avec la symétrie du problème, et dans un champ de pesanteur uniforme g, \frac{dp}{dz} + \rho g = 0.

Or, la loi des gaz parfaits donne \rho = \frac{pM}{RT^0} où M est la masse molaire de l'air et R la constante des gaz parfaits.

On obtient ainsi l'équation différentielle : \frac{dp}{dz} + \frac{p}{H_0} = 0 avec H_0 = \frac{RT^0}{Mg}, de solution p_0 e^{\frac{-z}{H_0}}.

Il apparaît donc une échelle de hauteur, distance constante caractéristique du problème, H_0 = \frac{RT^0}{Mg}.

On peut remarquer que cette loi de distribution de la pression suit la loi statistique de Boltzmann : avec H_0 = \frac{k_BT^0}{mg}, où kB est la constante de Boltzmann et m la masse d'une molécule, l'exponentielle fait apparaître le rapport de mgz, l'énergie potentielle de pesanteur d'une particule, et de kBT, son énergie d'agitation thermique. En raison de son poids tout l'air devrait se retrouver au sol, mais l'agitation thermique, jointe aux lois de Fick donne cette épaisseur caractéristique H0.

L'application numérique donne une hauteur caractéristique de 8 km. À 24 km pour une température de 0 °C de l'atmosphère, il n'y aurait plus que 5% de la pression ! Cela montre les limites de ce modèle ; en réalité, le dioxygène, plus lourd, a une hauteur d'échelle différente de celle du diazote ; l'air n'est pas un gaz parfait, et surtout, la plupart du temps dans la troposphère l'air se refroidit avec l'altitude.

En revanche, ce modèle prévoit correctement que la pression varie peu sur de faibles hauteurs dans des gaz qui ont de faibles masses volumiques.

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