Asymptote
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Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal. C'est d'abord un adjectif d'étymologie grecque qui peut qualifier une droite, un cercle, un point ... dont une courbe plus complexe peut se rapprocher. C'est aussi devenu un nom féminin synonyme de droite asymptote.

Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers 0.

L'étude du comportement asymptotique est particulièrement développé dans les études de fonctions et présente des commodités reconnues par de nombreux mathématiciens. Dans le domaine scientifique, il arrive fréquemment d'étudier des fonctions dépendant du temps (évolution de populations, réaction chimique ou nucléaire, graphique de température, oscillation d'un amortisseur). Un des objectifs du chercheur est alors de connaître l'état à la fin de l'expérience, c’est-à-dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé. L'objectif n'est alors pas de connaître les variations intermédiaires mais de déterminer le comportement stable, à l'infini du phénomène mesuré.

Le projet d'une définition uniforme n'étant pas raisonnable, cet article détaillera plusieurs situations.

Sommaire

Courbe d'équation y = f(x)

Sur le graphe 1/x, les axes x et y sont des asymptotes.
Sur le graphe (1/x)+x, l'axe des y et la droite x=y sont toutes les deux des asymptotes.

Les asymptotes sont à rechercher lorsque x ou f(x) tend vers l'infini.

Droite asymptote

Dans ce qui suit, on utilisera les notations a et b pour désigner des nombres réels, donc finis.

Asymptote « verticale »

La droite d'équation x = a est une asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f (en a) si, plus la valeur de x se rapproche de la valeur finie a aussi près que l'on veut, en restant plus petite ou plus grande que a, mais sans jamais être égale à a, plus la valeur de y s'approche de l'infini ; donc si \lim_{x \to a}f(x) = \pm\infty.

On trouvera des asymptotes verticales en particulier lorsque la fonction f se présente sous forme d'un quotient dont le dénominateur, mais pas le numérateur, s'annule en a.

Exemples : fonction homographique, logarithme népérien, fonction tangente

Asymptote « horizontale »

La droite d'équation y = b est asymptote horizontale à la courbe d'équation y = f(x), si au contraire, lorsque x s'accroît autant qu'on veut vers l'infini (mais sans jamais atteindre l'infini), y s'approche de la valeur finie b ; donc si \lim_{x \to \pm\infty}f(x) = b .

Exemples : fonction homographique, fonction exponentielle, tangente hyperbolique

Asymptote « oblique »

La droite d'équation y = ax + b (a étant ici différent de 0) est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction ƒ si \lim_{x \to \pm\infty}f(x)-(ax+b) = 0

les valeurs de a et de b se calculent à l'aide des formules suivantes :

a = \lim_{x \to \pm\infty}{f(x) \over x}
b = \lim_{x \to \pm\infty}{f(x)-ax}.

Si \lim_{x \to \pm\infty}{f(x) \over x} est égale au réel a alors que ƒ(x) - ax n'admet pas de limite réelle en \mp \infty, on dit que la courbe admet comme direction asymptotique la droite d'équation y = ax.

Si \lim_{x \to \pm\infty}{f(x) \over x} est égale au réel a et si \lim_{x \to \pm\infty} f(x)-ax= \pm \infty, on parle alors de branche parabolique de direction y = ax.

Exemple : fonction rationnelle.

Le point de vue projectif

Les trois situations précédentes n'en forment qu'une en géométrie projective, une asymptote étant une tangente à l'infini.

Courbe asymptote

La courbe d'équation y = g(x) est asymptote à la courbe d'équation y = f(x) en \pm \infty si \lim_{x \to \pm \infty} f(x) - g(x) = 0 . Les asymptotes « horizontales » ou « obliques » sont alors des cas particuliers de courbes asymptotes de ce type.

La courbe d'équation y = g(x) est asymptote à la courbe en a si \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty

Exemple : Une courbe d'équation y=\frac{ax^{3}+bx^{2}+cx+d}{x} admet une parabole asymptote d'équation y = ax2 + bx + c et une hyperbole asymptote d'équation y=\frac{d}{x}. La figure constitue un trident de Newton.

Courbe paramétrée

On cherche les asymptotes aux branches infinies de la courbe d'équation (x = x(t) ; y = y(t) ), c’est-à-dire en t0 (réel ou infini) tel que \lim_{t\to t_0} OM(t) = + \inftyM(t) est le point de coordonnées (x(t) ; y(t))

Droite asymptote

La droite d'équation ax + by + c = 0\, est asymptote à la courbe en t0 si \lim_{t\to t_0} OM(t) = + \infty et \lim_{t\to t_0} ax(t) + by(t) + c = 0

Méthode de recherche

On observe si l'une ou l'autre des coordonnées tend vers l'infini quand t tend vers t0. Si aucune des coordonnées ne tend vers l'infini, on ne recherche pas de droite asymptote.

Si l'une des coordonnées tend vers l'infini tandis que l'autre tend vers un réel, on peut conlure sur l'existence d'une asymptote.

  • la courbe admet la droite D : y = y_0\, pour asymptote en t0 si : \lim_{t\to t_0} x(t) = + \infty et \lim_{t\to t_0} y(t) = y_0
  • la courbe admet la droite D : x = x_0\, pour asymptote en t0 si : \lim_{t\to t_0} x(t) = x_0 et \lim_{t\to t_0} y(t) = + \infty

Si l'une des coordonnées tend vers l'infini alors que l'autre tend vers un réel, il y a la présence d'une droite asymptote

Dans le cas où les deux coordonnées tendent vers l'infini, on recherche une asymptote oblique. On cherche la limite de \frac{y(t)}{x(t)} quand t tend vers t0. Si cette limite est égale à un réel a, on cherche alors la limite de y(t) − ax(t) quand t tend vers t0. Si cette limite est égale à un réel b, alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe.

Exemple : Considérons la courbe d'équation paramétrique \begin{cases} x(t)=1/(1-t^2)\\ y(t)=t^3/(1-t^2) \end{cases} de dérivées respectives 2t / (1 − t2)2 et t2(3 − t2) / (1 − t2)2 en -1 :

\lim_{t \rightarrow -1} x(t) =+\infty

\lim_{t \rightarrow -1} y(t) =+\infty

On observe donc une branche infinie et par conséquent une asymptote

Autre asymptote

Exemple à trouver

Courbe d'équation polaire

On cherche les asymptotes à la courbe d'équation r = ρ(θ) lorsque r ou θ tend vers l'infini ou une valeur donnée. Exemples à trouver

Droite asymptote

Une courbe d'équation polaire admet une direction asymptotique lorsque, pour θ0 donné, on a

\lim_{\theta\to \theta_0} \rho(\theta) = \infty

La courbe admet alors une droite asymptote s'il existe un réel λ tel que

\lim_{\theta\to \theta_0} \rho(\theta)sin(\theta-\theta_0)=\lambda

La courbe s'approche de la droite d'équation

\rho(\theta) = \frac{\lambda}{sin(\theta-\theta_0)}.

Cercle asymptote

Une courbe d'équation polaire admet un cercle asymptote lorsqu'il existe ρ0 donné tel que

\lim_{\theta\to \infty} \rho(\theta) = \rho_0

La courbe "s'enroule" alors sur le cercle d'équation ρ = ρ0

Si au voisinage de θ0, ρ(θ) < ρ0, la courbe s'enroule à l'intérieur du cercle asymptote, si, au contraire, au voisinage de θ0, ρ(θ) > ρ0, alors elle s'y enroule à l'extérieur.


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