Relations de Kramers-Kronig

En mathématiques et physique, les relations de Kramers-Kronig, nommées en l'honneur de Hendrik Anthony Kramers^[1] et Ralph Kronig^[2], décrivent la relation qui existe entre la partie réelle et la partie imaginaire de certaines fonctions complexes. Plus spécifiquement, elles s'appliquent aux fonctions qui sont analytiques sur le demi-plan supérieur de la variable complexe. On peut en effet montrer qu'une telle fonction f(ω) représente la transformée de Fourier d'un processus physique linéaire et causal. Si on écrit

f(ω) = f₁(ω) + if₂(ω),

avec f₁ et f₂ des fonctions réelles "sympathiques", alors les relations de Kramers-Kronig sont

$f_1(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{\Omega f_2(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega$

$f_2(\omega) = -\frac{2 \omega}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{f_1(\Omega)}{\Omega^2 - \omega^2}d\Omega$.

Les relations de Kramers-Kronig sont liées à la transformée de Hilbert, et sont le plus souvent appliquées à la permittivité $\epsilon(\omega)$ des matériaux. Cependant, dans ce cas,

$f(\omega) = \chi(\omega) = \epsilon(\omega)/\epsilon_0 - 1$,

avec χ(ω) la susceptibilité électrique du matériau. La susceptibilité peut être interprétée comme la transformée de Fourier de la réponse temporelle du matériau à une excitation infiniment brève, c'est-à-dire sa réponse impulsionnelle.

Notes et références

1. ↑ H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2, p. 545-557 (1927) .
2. ↑ R. de L. Kronig, On the theory of the dispersion of X-rays, J. Opt. Soc. Am., vol. 12, p. 547-557 (1926).

Voir aussi

Articles connexes

• Transformée de Hilbert