Rang (matrice)

Rang (mathématiques)

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En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. On peut étendre la notion de rang aux matrices et aux endomorphismes.

Rang d'une matrice

Le rang d'une matrice A, noté rg A, est

• le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linéairement indépendants,
• la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs lignes (ou colonnes) de A,
• le plus grand des ordres des matrices carrées inversibles extraites de A,
• la taille du plus grand mineur non nul de A,
• la plus petite des tailles des matrices B et C dont le produit est égal à A,

tous ces nombres étant égaux.

On peut déterminer le rang en procédant à une élimination via la méthode de Gauss-Jordan et en examinant la forme échelonnée obtenue de cette manière.

Exemple

Soit la matrice suivante :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ \end{pmatrix}$

On voit que la 2^e ligne est le double de la première ligne. On note également que la 4^e ligne est égale à la somme de la première avec la troisième. Les lignes 1 et 3 sont ainsi linéairement indépendantes. Le rang de cette matrice est donc égal à 2. Une autre manière plus directe est de calculer la forme échelonnée réduite de cette matrice. Cette nouvelle matrice a le même rang que la matrice originale, et le rang correspond au nombre de lignes qui sont non nulles. Dans ce cas, nous avons deux lignes qui correspondent à ce critère.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

On remarque que le rang d'une matrice donnée est égale au rang de sa transposée. Pour l'exemple, prenons la transposée de la matrice A ci-dessus :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}$ On voit que la 4ème ligne est triple de la première, et que la troisième ligne moins la deuxième est double de la première.

Après échelonnement, on obtient donc :

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$ Et le rang de cette matrice est bien 2.

Rang d'une application linéaire

Étant donnés deux espaces vectoriels E, F de dimensions finies et une application linéaire f de E dans F, le rang de f est :

• La dimension de l'image de f.
• Le rang de la matrice associée à f dans deux bases de E et F, car le rang ne dépend pas des bases choisies pour représenter f. En effet, la multiplication à droite ou à gauche par une matrice inversible ne modifie pas le rang, ce qui amène rg(P ^{− 1}AQ) = rg(A), où A est la matrice représentant f dans un premier couple de bases, et P,Q des matrices de changement de base.

Rang d'une famille de vecteurs

• Pour une famille, son rang correspond au nombre maximal de vecteur que peut contenir une sous - famille libre de cette famille
• On peut aussi définir le rang d'une famille u par : rg (u) = dim(Vect(u))

Propriétés

Soit A une matrice

• Inégalité de Frobenius : rg(AB)+rg(BC)$\leq$rg(ABC)+rg(B)
• Théorème du rang : f une application linéaire de E dans F, dim(E)=rg(f)+dim(Ker(f))
• Transposée : rg(A)=rg(^tA)
• Composition : rg(AB)$\leq$min(rg(A),rg(B))
• Addition : rg(A+B) $\leq$ rg(A)+rg(B)
• Le rang d'une famille de vecteurs ne change pas lorsqu'on multiplie un de ses vecteurs par un scalaire non nul, lorsqu'on ajoute à un des vecteurs une combinaison linéaire des autres vecteurs, ou lorsqu'on échange deux vecteurs.
• Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

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