Racine carrée

La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note $\sqrt x$ ou x^½; dans cette expression, x est appelé le radicande.

Une tablette d'argile datée du XVIII^e siècle av. J.‑C. montre que les Babyloniens connaissaient la racine carrée de deux et un algorithme de calcul.

Tout nombre réel x positif possède une racine carrée qui est elle-même un nombre réel. La racine carrée d'un nombre entier n est soit un entier, soit un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'elle ne peut être exprimée par une fraction. La racine carrée est à l'origine de la découverte de l'irrationnalité, mais contrairement à une idée répandue, rien n'assure que celle de 2 fut le premier nombre irrationnel connu^[1]. L'exemple de démonstrations par l'absurde choisi par Aristote, l'un des fondateurs de la logique est fondé sur l'irrationnalité de 2 : «  Ils prouvent que le diamètre du carré est incommensurable au côté en montrant que, si l'on admet qu'il lui est commensurable, un nombre impair serait égal à un pair^[2]. »

À la Renaissance, des mathématiciens ont été amenés à définir la racine carrée d'un nombre négatif, ce qui a conduit à l'avènement des nombres complexes. L'extraction d'une racine carrée était la cinquième « opération classique », elle est aussi perçue comme une fonction.

Histoire

Article détaillé : Histoire de la racine carrée.

Photographie de la tablette YBC 7289 avec des annotations traduisant les nombres écrits dans le système Babylonien. (crédits : Bill Casselman).

La plus ancienne racine carrée connue apparaît vers 1 700 av. J.-C. sur la tablette YBC 7289. Il s'agit de la représentation d'un carré avec, sur un côté, le nombre 30 et, le long de la diagonale, une valeur approchée de √2.

Racine carrée et autres structures

Si un ensemble E possède une multiplication, il peut être intéressant de se poser la question de savoir quand, pour un élément a de E, il existe un élément b tel que b² est égal à a. Si E est égal à ℤ, a vérifie la propriété précédente si et seulement si a est un carré parfait. Le terme de racine carrée sera étendu pour une raison de simplicité. La phrase 3 n'a pas de racine carrée dans ℤ possède un sens complètement défini.

Supposons que l'ensemble E soit égal à celui des nombres complexes ℂ, c'est-à-dire des nombres de la forme a + ib où a et b sont des nombres réels et i l'unité imaginaire. L'unité imaginaire est un nombre dont le carré est égal à −1. Si α est un nombre complexe, alors il existe toujours un nombre complexe β tel que β² soit égal à α. De plus, −β vérifie la même propriété. Il est fréquent de dire que β et −β sont les racines carrées de α, ce qui est plus commode que de dire que β et −β sont les racines de l'équation x² − α = 0. On parle alors des^[3] racines carrées de α.

Par extension, et quand il n'existe pas d'ambigüité, la locution racine carrée de α où α est un élément d'un ensemble E munis d'une multiplication signifie n'importe quel élément x solution de l'équation x² = α. La notation √α est néanmoins souvent déconseillée^[3], elle est associée à un élément précis et non pas un ensemble.

Dans le cas des nombres réels, c'est l'article qui permet de faire la différence. Un auteur parlant d'une racine carrée de 2, traite d'un des deux éléments √2 ou bien −√2. En revanche l'expression la racine carrée de deux évoque toujours la solution positive. Comme l'expression √2 est toujours positive et le terme fonction racine définie sur les réels positifs désigne toujours la valeur positive, on évite cette confusion dans les enseignements un peu élémentaires des mathématiques en ne faisant usage que de l'expression : la racine carrée, alors toujours positive.

Fonction réelle

Représentation graphique de la fonction racine

L’application $x\mapsto x^2$ est une bijection de ℝ⁺ sur ℝ⁺ dont la réciproque est notée $x\mapsto \sqrt{x}$. Cette fonction s’appelle la fonction racine carrée. Géométriquement, on peut affirmer que la racine carrée de l’aire d’un carré du plan euclidien est la longueur de ses côtés.

Mise en garde : l’aire s’exprime dans le système universel en mètre carré et les longueurs en mètre. En prenant la racine carrée d’une quantité exprimée en mètres carrés, on obtient une quantité exprimée en mètres. Les physiciens attachent une importance particulière à l’analyse des unités ; cet aspect est effacé en mathématiques. Les nombres réels sont des constantes sans unité, et la racine carrée d’un nombre réel positif est un nombre réel positif.

Analyse

La fonction racine carrée vérifie les propriétés élémentaires suivantes valables pour tous nombres réels positifs x et y :

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{x \times y} = \sqrt{x} \times \sqrt{y}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (sous la condition y > 0)

$\sqrt{x^2} = |x|$.

La fonction racine est continue en tout réel positif x (pour y proche de x, $\sqrt{y}$ est proche de $\sqrt{x}$). Mieux, cette fonction est 1/2-höldérienne. De plus, elle est dérivable en tout réel strictement positif x, mais elle n’est pas dérivable en x=0. En ce point, la pente de la tangente est infinie ; la courbe représentative admet en 0 une demi-tangente verticale.

La fonction dérivée de $x\mapsto \sqrt{x}$ est donnée par :

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sqrt{x}={1 \over 2\sqrt{x}}$

La fonction racine est en réalité de classe $C^{\infty}$ sur ℝ₊*.

$\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\sqrt{x}={(-1)}^{n+1} {(2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1}} \frac{1}{x^{n-1/2}}$

Mieux encore, la fonction racine est développable en série entière. Le développement en série de Taylor de la fonction racine carrée au point 1 s’obtient immédiatement à partir de la formule du binôme généralisée :

$\begin{align}\sqrt{1+h} &=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}{(2n-2)!\over n!(n-1)!2^{2n-1}}h^n\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}{(2n)! \over (n!)^2 (2n-1) 2^{2n}}h^n\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\binom{2n}n}{(2n-1)2^{2n}}h^n\\ &=1+\frac12h-\frac18h^2+\frac1{16}h^3-\frac5{128}h^4+\cdots \end{align}$

pour tout réel h tel que | h | < 1.

Construction géométrique de la racine carrée

AO = 1, OB = a, OH = x

La construction géométrique suivante se réalise à la règle et au compas et permet, étant donné un segment OB de longueur a, et un segment de longueur 1, de construire un segment de longueur √a :

• Construire le segment AB de longueur 1+a et contenant le point O avec AO = 1
• Construire le cercle c de diamètre AB.
• Construire la droite d perpendiculaire à (OB) et passant par O.
• Nommer H le point d’intersection du cercle c et de la droite d.

Le segment OH est de longueur √a.

La preuve consiste à appliquer le théorème de Pythagore :

• Au triangle rectangle HOB : OH² + a² = HB²
• Au triangle rectangle ABH : HB² = (a+1)² - AH²
• Au triangle rectangle AOH : AH² = 1² + OH²

D’où OH² + a² = (a+1)² - (1² + OH²), soit, après simplification OH² = a, et donc OH = √a.

Cette construction a son importance dans l’étude des nombres constructibles.

Notion algébrique générale

Soient x et a deux éléments d’un anneau A, tels que x²=a. L'élément x est alors une racine carrée de a. En général (si l'anneau n'est pas intègre ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées. Par exemple dans l'anneau Z/9Z, les racines carrées de 0 sont 0, 3 et -3, et dans le corps gauche des quaternions, tout réel strictement négatif possède une infinité de racines carrées.

Les racines carrées de nombres complexes

La racine carrée sur ℝ est définie seulement pour les nombres positifs. Dans la résolution effective des équations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre négatif dans les calculs intermédiaires donne des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des nombres complexes a été introduit^[4]

Pour tout nombre complexe non nul z = a + ib (avec a et b réels), il existe exactement deux nombres complexes w tels que w² = z. Ils sont opposés l'un de l'autre.

• Si b est non nul, ils sont données par :

$w=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+ i\ \operatorname{signe}(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right),$

avec $\operatorname{signe}(b)=\frac{b}{|b|}$.

• Si b est nul et a est négatif, cette formule se simplifie en :

$w=\pm i\sqrt{|a|}.$

• Par ailleurs, si z n'est pas un réel négatif (i.e. si b est non nul ou si a est positif),

$w=\pm\frac{z+|z|}{\sqrt{2(a+|z|)}}.$

Méthode de calcul des racines carrées w d'un nombre complexe z=a+ib

Pour trouver w = x + iy tel que w² = a + ib, on pose le système suivant :

$\begin{cases}w^2=z\\|w|^2=|z|\end{cases}$

$\begin{cases}(x+iy)^2=a+ib\\(x^2+y^2)=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}$

$\begin{cases}x^2-y^2+i2xy=a+ib\\x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}$

Par identification de la partie réelle et imaginaire, on obtient :

$\begin{cases}x^2-y^2=a\\2xy=b\\x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}\end{cases}$

On en déduit alors x² et y² en ajoutant et soustrayant les première et troisième équations. Le signe du produit xy est celui de b, d'où la première expression des deux couples de solutions pour x et y.

Mais une manière moins traditionnelle de résoudre ce système est de faire dans un premier temps seulement la somme (des première et troisième équations) :

$2x=\pm{\sqrt{2(a+|z|)}},$

ce qui, si z n'est pas un réel négatif, mène à la dernière formule.

Pour des raisons de nature topologique, il est impossible de prolonger la fonction racine carrée, de ℝ⁺ dans ℝ⁺, en une fonction continue $\scriptstyle f:\C\rightarrow\C$ vérifiant f(z)² = z. (Pour plus de détails, voir Racine d'un nombre complexe.)

On appelle détermination de la racine carrée sur un ouvert U de ℂ toute fonction continue $\scriptstyle f:U\rightarrow\C$ vérifiant f(z)² = z.

La détermination principale de la racine carrée est la fonction de ℂ dans ℂ ainsi définie : si z s’écrit sous forme trigonométrique z = re^iφ avec $\scriptstyle-\pi<\varphi\le\pi$, alors on pose $f(z)=\sqrt re^{\frac{i\varphi}2}$. Cette détermination principale n’est continue en aucun point de la demi-droite des réels strictement négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.

Quand le nombre est dans sa forme algébrique z=a+ib, cette définition se traduit par :

$f(a+ib)= \sqrt{\frac{\left|a+ib\right| + a}2} \pm i\sqrt{\frac{\left|a+ib\right|-a}2}$

où le signe de la partie imaginaire de la racine est

• si $b\ne 0$ : le signe de b
• si b = 0 et a < 0 : le signe +
• si b = 0 et $a\ge 0$ : pas de signe (le nombre est nul).

Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe, la relation $\sqrt{zz'}=\sqrt{z}\sqrt{z'}$ devient fausse en général.

Les racines carrées de matrices et d’opérateurs

Article détaillé : Racine carrée d'une matrice.

Si A est une matrice autoadjointe positive ou un opérateur autoadjoint positif en dimension finie, alors il existe exactement une matrice autoadjointe positive ou un opérateur autoadjoint positif B tel que B² = A. On pose alors : √A = B.

Plus généralement, pour toute matrice normale ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B² = A. Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un espace de Hilbert.

En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie des opérateurs développent davantage ces aspects.

Extraction de racines carrées

Un premier algorithme

Nous allons exposer un algorithme qui va nous permettre d’extraire la racine carrée d’un nombre. Évidemment, si la racine carrée n’est pas un nombre décimal, alors l’algorithme ne se termine jamais, mais on s'approche autant qu'on peut le souhaiter du résultat : la suite des chiffres est exacte.

Nous commençons par séparer les chiffres du nombre par paires en commençant à partir de la virgule. Nous plaçons le nombre dont on veut extraire la racine en haut, de la même façon que lorsque nous effectuons une division selon la méthode classique ; la racine carrée sera inscrite au-dessus de ce nombre.

À chaque étape :

• on abaisse la paire de chiffres la plus significative non encore utilisée et on la place au côté d’un reste éventuel de l'étape précédente ;
• soit r le résultat intermédiaire de la racine carrée obtenu précédemment (égal à zéro au début). On cherche le plus grand chiffre x tel que le nombre y=(20r + x)x ne dépasse pas la valeur courante ;
• on place x sur la ligne supérieure au-dessus de la paire abaissée, pour former le nouveau résultat intermédiaire ;
• on soustrait y de la valeur courante pour former un nouveau reste ;
• si le reste est nul et qu’il n’y a plus de chiffre à abaisser alors l’algorithme se termine sinon on recommence.

Exemple : √152,2756=12,34

(nota : la suite des chiffres en gras s'inscrit au fur et à mesure au-dessus du nombre initial, au-dessus de la paire de chiffre traité selon l'algorithme, et donne le résultat : 12,34 . La place de la virgule est significative mais n'a pas besoin d'être prise en compte pendant les calculs, il suffit de la constater à la fin)

         1  2  3  4                                                    
        01 52,27 56                  1                   r=0 à cette étape 
 x=1    01                           1                   y=(20*0+1)1 = 1 <= 01 alors que (20*0+2)*2 = 4 > 01 donc x = 1
        ____                         __                     j'inscris le 1 : r=1 pour l'étape suivante
        00 52                        2x                  je pose 01-01=00 et j'abaisse 52 : apparait 52
 x=2    00 44                        12                  y=(20*1+2)2 = 44 <= 52 alors que (20*1+3)*3= 69 > 52 donc x = 2
        _______                      __                     j'inscris le 2 : r=12 pour l'étape suivante, 20*r = 240
           08 27                     24x                 52-44 = 08, je pose 08 et j'abaisse 27 : apparait 827
 x=3       07 29                     123                 y=(20*12+3)*3 = 243*3 = 729 < 827 
           _______                   __                     j'inscris le 3 : r=123 pour l'étape suivante, 20*r=2460   
              98 56                  246x                827-729 = 98, je pose 98 et j'abaisse 56 : apparait 9856
 x=4          98 56                  1234                y=(20*123+4)*4 = 9856
                _______                                     j'inscris le 4 : r=1234 
                 00 --                                   9856-9856 = 0 et il n'y a plus rien à abaisser : fin de l’algorithme

Vérification :

12,34 × 12,34 = 12×12 + 2×12×0,34 + 0,34×0,34.
   = 144 + 8,16 + (0,32×0,32 + 2×0,02×0,32 + 0,02×0,02)
   = 144 + 8,16 + 0,1024 + 0,0128 + 0,0004
   = 152,2756

Jusqu’au XIX^e siècle on utilisait couramment cet algorithme en accélérant les calculs à l’aide d’un abaque formé d’un jeu de réglettes : les bâtons de Napier.

Bien que décrite ici pour des nombres écrits en base 10, la procédure fonctionne dans n’importe quelle base, base 2 comprise. Dans ce qui précède, 20 représente le double de la base, et en binaire ce nombre serait remplacé par 100.

Par les fractions continues

Article détaillé : Fraction continue d'un nombre quadratique.

Une fraction continue permet d'exprimer un nombre réel. Dans le cas particulier des racines carrées, son expression est relativement simple, ce qui permet de formuler deux méthodes d'extraction de racine. Elles possèdent toutes deux l'avantage de présenter des fractions optimales, c'est-à-dire que si p / q est une des valeurs que propose l'algorithme, alors aucune fraction de a / b avec b < q n'approche plus précisément la racine.

La deuxième méthode converge très rapidement : à chaque étape, le nombre de décimales exactes double.

La méthode de Héron

La méthode de Héron est un algorithme permettant d’approcher les racines carrées. Son importance est avant tout^{[réf. nécessaire]} historique, elle a été développée par les Babyloniens. Elle fournit de bonnes approximations au prix de quelques divisions.

Exemple : $\scriptstyle\sqrt2\approx 1,4142$

Prenons la valeur rapprochée x₀ = 1. On calcule de proche en proche :

$x_1=\frac12\left(x_0+\frac2{x_0}\right)=\frac32$

$x_2=\frac12\left(x_1+\frac2{x_1}\right)=\frac12\left(\frac32+\frac43\right)=\frac{17}{12}$

$x_3=\frac12\left(x_2+\frac2{x_2}\right)=\frac12\left(\frac{17}{12}+\frac{24}{17}\right)=\frac{577}{408}\approx1,4142.$

On a ainsi obtenu la racine carrée de 2 à la précision 10 ^{− 4}.

Calcul par la méthode du goutte à goutte

Article détaillé : Technique de l'extraction de racine.

Les racines carrées, approximations entières

On a parfois besoin de construire des tables des parties entières des racines carrées des entiers naturels. Les premières sont données par :

Carré	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	..	15	16	17	..	24	25	26	27
Partie entière de la racine	0	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	..	3	4	4	..	4	5	5	5

Une observation des premiers termes montre que la suite stationne d’entiers en entiers, et saute successivement d’un incrément de manière régulière. Plus précisément,

• le 0 est répété 1 fois,
• le 1, 3 fois
• le 2, 5 fois
• le 3, 7 fois
• le 4, 9 fois

Le nombre de fois que l’entier a est répété est le a-ième entier impair. La preuve repose sur l’identité suivante :

$(a+1)^2 -a^2 = 2a + 1\,$

Démonstration

Soit a un entier naturel.

On recherche le nombre n d'entiers qui ont a pour partie entière de leur racine carrée. Cela signifie que les n entiers entre a² + 0 et a² + n − 1 compris ont a pour partie entière de leur racine.

L'entier suivant, soit a² + n, est donc le premier entier à avoir a + 1 pour partie entière de sa racine. Il en est donc le carré parfait :

$\sqrt{a^2+n}=a+1\Leftrightarrow n=(a+1)^2-a^2=2a+1,$

donc n est le a-ième nombre impair.

Autre méthode

Il est aisé de savoir quelle sera la taille de la racine carrée d'un nombre et cela avec un calcul élémentaire. Cela tient à la multiplication elle même: Si vous prenez le nombre de bits significatifs de deux nombres lorsque vous en faites le produit le résultat compte autant de bits que la somme des bits de chacun des opérandes. Dans le cas de la racine carrée les opérateurs sont égaux et comptent donc le même nombre de bits. En conséquence quand vous avez un nombre quelconque sa racine comporte la moitie de bits. Si vous avez un nombre de 1024 bits vous savez que la racine en aura 512. Vous pouvez donc encadrer la racine ainsi 513 bits< Racine< 511 bits

Plus loin

Mais arrivé là on peut affiner considérablement le résultat. Le prodigieux algorithme du compte goutte n’est utilisable que dans son intégralité car on ne connait en principe pas la longueur de la racine. C’est désormais faux. On peut donc utiliser ce calcul pour, par exemple, les 10 premiers chiffres de la racine et ensuite compléter la valeur a 512 bits Si vous voulez extraire la racine de : 286566083047005741820534465902668361736253328912991487181716 On commence par déduire la taille de la racine qui sera donc 30 chiffres, puis on extrait les 10 premiers chiffres au compte goutte 5389438444. nous complétons la racine avec 20 fois le chiffre 9 et nous obtenons ainsi la valeur haute de la racine 538943844499999999999999999999 et en complétant avec des 0 on obtient la limite basse 53894384440000000000000000000. Vérifions:la racine étant 538943844471945205222588086383 elle est bien comprise dans notre fourchette. Plus vous calculez de chiffres au ‘compte goutte’, qui est spécialement rapide, plus vous resserrez la fourchette

Précision: Comment passer de la fourchette au résultat. 538943844499999999999999999999 538943844400000000000000000000 = 538943844471945205222588086383 ????

La solution informatique est classique ! Une simple recherche dichotomique mais au lieu de tester directement la valeur calculée avec le nombre de départ il faut l'élever au carré.

function Racine_64(C: int64): int64;
var
 a, b, d, d1: int64;
begin
  A := borne basse;
  B := borne haute;
  repeat
    D := (a + B) shr 1;
    D1 := D * D; <= on élève au carré avant de tester
    if D1 > C then        
      A := D - 1
    else
      if C > D1 then
        B := D + 1
      else
        Result := A;
  until B > A;
end;

Par cette méthode, il sera possible d'extraire de nombreuses racines carrées.

Goutte à goutte

Cette méthode est utilisée pour identifier les X premiers chiffres de la racine. Mais il existe d'autres méthodes. Cherchons la racine carrée de 700528656608304465974182053402668361736253328912991487181716. On prend les 19 premiers chiffres (19 correspondant a un nombre de 64 bits) et on en extrait la racine par la classique fonction SQRT de l'ordinateur 70052865660830446 et obtenez 264675018 exactement comme avec la méthode compte goutte mais sans l'utiliser Il ne vous reste qu'à mettre des 9 ou des 1 comme dans l'exemple (un décalage et un Or en informatique). On connait sans problème la longueur (voir plus haut).

Les racines n-ièmes

La solution informatique est exactement la même seul le test dans la recherche change D := (a + B) shr 1; D1 := D * D; ⇐ on éleve au carré If suffit simplement de changer le Calcul de D1 par exponentiation désire Si vous cherchez la racine 164758 ème du nombre D1 := D * D; devient D1:=D^164758 et par approximations sucessives vous obtiendrez votre racine 164758 eme

Cette méthode présente une difficulté: si pour la racine carrée nous savons calculer rapidement la longueur (Nombre de bits div 2) Comment savoir quel sera la longueur de la racine 164758 Ce n'est en réalite sans importance et n'a quasiment aucune incidence sur le calcul Elle permet juste de gagner un ou deux cycles de la recherche dichotomie Quelques milliardièmes de secondes moyennant un calcul long informatiquement (conversion valeur ASCI et numérique) Si vous faites une recherche dichotomique pour 10 vous avez 1- 50 1- 25 1- 12 1- 6 2- 12 4- 12 8- 12 8- 12 Le calcul des racines par approximation a donc son couteau suisse: la recherche dichotomique

On peut si on le désire connaitre malgré tout la taille de la racine n° d'un nombre quelconque Sachant que pour connaitre le nombre de chiffres d'une exponentiation on utilise la formule suivante

R := Round(A * Log10(B)) + 1;

où A est la valeur et B la puissance. Il est aisé connaissant R et B de retrouver Log10(10] une simple recherche dichotomique (encore elle) vous permettra de retrouver le log10

Et les décimales ?

Le calcul est automatique : il suffit de multiplier le nombre de départ par 100 autant de fois que vous désirez de décimales.

C'est la faute de Héron !

Bien involontaire, il faut le dire tout de suite. Dans la recherche dichotomique qu'il donne, il existe un goulet au niveau de la dichotomie elle-même : le calcul du carré (pour lui une division). C'est la plus longue, informatiquement parlant, des quatre opérations arithmétiques. Son rapport avec la multiplication est de 25, comprendre qu'il faut le même temps à un ordinateur pour faire 25 multiplications que pour faire une seule division. Toutes les recherches sur cette méthode étaient donc basées sur le gain de cycles de recherche et non sur le test lui-même.

Gagner un cycle de calcul chez Héron équivaut à en gagner 25 sur une recherche dichotomique au niveau du temps. On comprend l'incidence de la pertinence de la valeur d'initialisation.

Approximation de √a à l'aide de suites adjacentes

Soit a un nombre réel strictement positif.

Considérons les suites u et v définies par

• u(0) = 1,
• v(0) = a,
• u(n + 1) = la moyenne harmonique de u(n) et v(n) = 2 / (1 / u(n) + 1 / v(n)),
• v(n + 1) = la moyenne arithmétique de u(n) et v(n) = (u(n) + v(n)) / 2.

Les suites u(n) et v(n) sont adjacentes, et convergent vers la même limite : $\sqrt{a}$. L'erreur peut même être majorée par la différence v(n) − u(n).

Remarquons l'originalité de cette méthode qui mêle moyennes harmonique, géométrique et arithmétique. En effet $\sqrt{a}$ n'est autre que la moyenne géométrique de 1 et de a, et si on remplace u(0) par un réel strictement positif quelconque b, les suites u et v convergent vers la moyenne géométrique $\sqrt{a b}$ de a et b.

(L'intéressante moyenne arithmético-géométrique et la moyenne géométrico-harmonique sont définies par des suites similaires.)

Racines carrées particulières

Nombre d'or

L’identité $2 = \sqrt{2+2}$ implique $2 = \sqrt{2+\sqrt{2+2}}$, et par itérations successives :

$2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}$

Pour des raisons analogues, on obtient :

$3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$

$4 = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\cdots}}}}$ ; ...

Si r est un entier strictement supérieur à 1,

$r = \sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\sqrt{r(r-1)+\cdots}}}}$

Plus généralement, si p étant un nombre réel supérieur ou égal à 1,

$\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\sqrt{p+\cdots}}}} = \frac{1+\sqrt{(4\,p+1)}}{2}$

Si p est égal à 1, on obtient le nombre d'or:

$\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$.

Nombres entiers supérieurs à 1 sous forme de racines carrées

Exemple pour 3

Le mathématicien Ramanujan obtint une formule alternative pour 3. Il partit de la décomposition

$(n+p)^2 = 1 + [n+(p-1)][n+(p+1)]\,$

et construisit le produit n(n + p) en fixant p = 2

$n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)(n+3)}$

Il substitua le terme (n + 3)

$n(n+2) = n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}}$

Ramanujan réitéra à l’infini en remplaçant maintenant n par 1 et obtint la jolie formule :

$3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+\cdots}}}}}$

(bien entendu, il doit ensuite démontrer que le passage à la limite est légal ; il n'est pas difficile de montrer que la suite converge, mais le calcul de la limite est autrement plus délicat)

En fixant n et p à d’autres valeurs positives ou en élevant au carré une formule obtenue, on peut également construire d’autres belles formules comme :

$4 = \sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots}}}}}$

En résumé, la relation suivante, itérée à l’infini :

$n+2 = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)(n+4)}} = \sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)\sqrt{1 + (n+3)(n+5)}}}$

permet donc d’exprimer tous les nombres entiers strictement supérieurs à 1 comme une itération infinie de racines carrées.

En particulier, en fixant n = 0

$2 = \sqrt{1 + \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\sqrt{1 + 6\sqrt{1 + \cdots}}}}}}}$

(toutes ces formules sont en fait des affirmations sur des limites, qui se démontrent, de manière assez délicate, par encadrements)

Pi

Le nombre π s’exprime sous la forme d’une itération infinie de racines carrées :

$\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 2^{k} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt2}}}}} \right )$ , où k est le nombre de racines carrées emboitées

Ou encore :

$\pi = \lim_{k \to \infty} \left ( 3\cdot2^{k-1} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdots \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt3}}}}}} \right )$

(formules qui se démontrent par calcul trigonométrique direct : le terme de droite de la première, par exemple, vaut 2^ksin(π / 2^k)).

Notes et références

1. ↑ Benoit Rittaud Le Fabuleux destin de √2 SMF Gazette 107, Janvier 2006 disponible sur le net
2. ↑ Aristote, Analytiques Postérieurs I, 23
3. ↑ ^{a et b} Voir par exemple le site : racine carrée complexe par Homéomath
4. ↑ Dans la résolution de l'équation du troisième degré, la méthode de Cardan s'applique formellement et donne des résultats réels, si l'on accepte d'introduire dans certains cas des racines carrées "imaginaires" de réels négatifs. Pour plus de détails, voir histoire des nombres complexes, et aussi la description des résultats de Bombelli

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

• « Racine carrée », sur Wikiversity (communauté pédagogique libre)
• « Les racines carrées en classe de troisième », sur Wikibooks (livres pédagogiques)

Articles connexes

• Racine carrée de deux
• Racine carrée de trois
• Racine carrée de cinq
• Racine cubique
• Racine de nombre complexe
• Nombre d’or
• Nombre irrationnel
  • Nombre algébrique
• Nombre réel
  • Nombre complexe
• Exponentielle

Liens externes

• (en) Suites concernant la racine carrée dans l'encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers (entre autres : développements décimaux des racines carrées des entiers de 2 à 99)

Bibliographie

• (en) David Eugene Smith (en), History of Mathematics, vol. 2
• (en) George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2^e éd., Penguin Books, London, 2000 (ISBN 0-691-00659-8)
  3^e éd. augmentée : Princeton University Press, 2010 (ISBN 978-0-691-13526-7)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root » (voir la liste des auteurs)