Quadrupôle

Le quadrupôle, en électrostatique, est une distribution de charges, ayant pour particularité que les barycentres des charges respectivement positives et négatives sont confondus.

Analyse du quadrupôle

Soit une distribution (D) de charges q_i aux points P_i. Cette distribution (D) à support compact crée à une grande distance des charges (pour r >> a, avec a longueur caractéristique de la distribution) un potentiel V1(r).

On définit :

• q = Σq_i la somme des charges
• $\vec{p}(O)$ = $\Sigma q_i \vec{OP_i}$, indépendant de O si q=0, nul si O est choisi barycentre des charges
• $J_O = \Sigma q_i {OP_i}^2$, le moment d'inertie par rapport à O
• $\hat{J} (\vec{X}) = \Sigma q_i \vec{OP_i} \times ( \vec{X} \times \vec{OP_i})$, l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à O
• $\hat{Q} = 2 J_o X -3 \hat{J} X$, l'opérateur linéaire quadrupolaire en O

On peut vérifier que trace($\hat{Q}$)= 0.

Développement quadrupolaire

Théorème :

$V1(M) = \frac{q}{r} + \frac{\vec{p}.\vec{u}}{r^2} + \frac{\vec{u}.(\hat{Q} \vec{u})}{2 \times r^3} + o(\frac{1}{r^3})$, avec $\vec{u} = \vec{r}/r$

Cas particulier : axe de symétrie

(D) possède la symétrie de révolution autour d'un axe, disons Oz.

Alors la matrice de $\hat{Q}$ est diagonale, avec Q_x,x = Q_y,y = − Q_o / 2 et Q_z,z = Q_o qui s'appelle moment quadrupolaire en O de la distribution. Si q n'est pas nul, on choisit O en G, et alors :

$V1(M) = \frac{q}{r} + \frac{Q_o}{2 \times r^3} \times [P_2(cos \theta )] + o(\frac{1}{r^3})$, avec P₂(x) = 1 / 2.(3x² − 1) (2^e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, Q_o = 2(A − C) < 0 ; l'usage est de poser $J_2 = \frac{C-A}{Ma^2} = 1.08263 \times 10^{-3}$.

Le potentiel terrestre est ainsi $V(M) = -\frac{GM}{r} + \frac{GMa J_2 P_2(cos \theta)}{r^3}$.

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en J4 (octupolaire), J6, etc.).

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