Produit direct

La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, on peut appeler produit direct un produit qui commute avec le foncteur d'oubli^{[réf. souhaitée]}. C'est la cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Produit direct de deux magmas

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne T et F un ensemble muni d'une loi de composition interne $\star$. On peut définir une loi de composition interne * sur le produit cartésien $E\times F$ de la façon suivante :

$(x,y) * (x',y') = (x\ T\ x', y \star y')$

Propriétés

• Si T et $\star$ sont associatives, alors la loi * est associative.
• Si T et $\star$ sont commutatives, alors la loi * est commutative.
• Si T admet un élément neutre e et si $\star$ admet un élément neutre f, alors (e,f) est neutre pour * .
• Si x admet un symétrique x' pout T et si y admet un symétrique y' pour $\star$, alors (x,y) admet (x',y') comme symétrique.

Produit direct de magmas

Soit $(E_i)_{i\in I}$ une famille d'ensembles, chaque E_i étant muni d'une loi de composition interne $\star_i$. On peut définir une loi de composition interne * sur le produit cartésien $\prod_{i\in I} E_i$ de la façon suivante :

$(x_i)_{i\in I} * (x'_i)_{i\in I} = (x_i\star_i x'_i)_{i\in I}$

Propriétés

• Si chaque loi $\star_i$ est associative, la loi * est associative.
• Si chaque loi $\star_i$ est commutative, la loi * est commutative.
• Si chaque loi $\star_i$ possède un élément neutre e_i (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche). La famille $e=(e_i)_{i\in I}$ est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour * .
• Si chaque loi $\star_i$ possède un élément neutre. Et si dans chaque E_i, un élément quelconque x_i possède un symétrique ( respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) y_i. La famille $(x_i)_{i\in I}$ admet la famille $(y_i)_{i\in I}$ comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupe est un groupe.

Article détaillé : produit direct (groupes).

Produit direct d'anneau

Soit $(E_i)_{i\in I}$ une famille d'ensemble, chaque E_i étant muni de deux lois + _i et * _i. On peut comme précédemment définir une loi + , produit direct des + _i et une loi * , produit direct des lois * _i.

Si chaque loi * _i est distributive par rapport à la loi + _i, alors la loi * est distributive par rapport à la loi + .

En particulier, si chaque $(E_i)_{i\in I}$ est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Attention : Le produit direct de deux anneaux non nuls (ou plus) n'est jamais intègre. En effet $(0,a)\ *\ (a,0)=(0,0)$. Dans beaucoup de cas, par exemple pour construire le corps des nombres complexes, ou le corps des fractions, on utilisera un procédé plus subtil.