Primalite dans un anneau

Primalite dans un anneau

Primalité dans un anneau

Sommaire

Introduction

Dans l'anneau des entiers, il existe différentes caractérisations des nombres premiers et des nombres premiers entre eux qui, dans un anneau quelconque, conduisent à des notions différentes.

Dans la suite, A est un anneau commutatif unitaire intègre, a et b sont deux éléments ≠ 0 de A, et p est un élément non nul et non inversible de A. La notation (a) désigne l'idéal principal engendré par a.

Éléments premiers entre eux et élément irréductible

  • On dit que a et b sont premiers entre eux ou que a est premier avec b si tout diviseur commun à a et b est inversible, ce qui s'écrit plus simplement :
PGCD(a,b)=1

Condition équivalente : (a) + (b) n’est inclus dans aucun idéal principal propre de A.

Probablement par influence des polynômes, la propriété P définie par "p a la propriété P s'il est premier avec tout élément qu'il ne divise pas" ne conduit pas à la notion d'élément premier, mais à celle d'élément irréductible :

  • On dit que p est irréductible si les seuls diviseurs de p sont les inversibles ou les éléments associés à p (i.e. p = ab implique a ou b inversible).

Condition équivalente : (p) est maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de A.

  • Proposition: Dans un anneau intègre, tout élément p premier est irréductible.

Éléments premiers entre eux au sens de Gauss (ou indissolubles) et élément premier

  • On dit que a et b sont premiers entre eux au sens de Gauss (ou indissolubles entre eux) si pour tout élément x de A,
si a divise bx, alors a divise x.

Conditions équivalentes :

  1. a est simplifiable dans l'anneau A / (b)
  2. a n’est pas un diviseur de 0 dans A / (b)
  3. un élément de A multiple de a et b est multiple de ab
  4. ab = PPCM(a,b)

La définition correspondante est alors :

  • p est dit premier (ou indissoluble) si lorsque p divise un produit d’éléments de A, il divise l’un des termes.

Conditions équivalentes :

  1. A / (p) est intègre
  2. (p) est un idéal premier de A

Éléments étrangers et élément extrémal

La notion d'éléments étrangers correspond à la caractérisation des nombres premiers entre eux par le théorème de Bachet-Bézout.

  • On dit que a et b sont étrangers s'il existe u et v de A tels que au + bv = 1, condition qui s'écrit plus simplement sous la forme
(a) + (b) = A

On remarquera alors que, quand l'anneau est unitaire, 1 est étranger à lui même.

La définition correspondante est alors :

  • On dit que p est extrémal si (p) est un idéal maximal de A

Condition équivalente : tout élément de A non multiple de p est inversible modulo p, ce qui équivaut à l'importante propriété :

"A / (p) est un corps".

Propriétés

  • p est (irréductible, premier, extrémal) ssi p est (premier, indissoluble, étranger) avec tout élément de A qu’il ne divise pas.
  • étrangers => indissolubles entre eux => premiers entre eux.
    Les réciproques sont fausses :
    Dans K[X,Y], X et Y sont indissolubles entre eux mais pas étrangers.
    Dans A = { P \in K[X,Y] / P est formé de monômes de degré total pair}, XY et X2 sont premiers entre eux mais pas indissolubles entre eux (car XY divise X2Y2 mais pas Y2).
  • extrémal => premier => irréductible.
    Les réciproques sont fausses :
    Dans K[X,Y], X est premier non extrémal.
    Dans A défini ci-dessus, XY est irréductible mais non premier (il divise X2Y2 mais ni X2, ni Y2).


  • Dans un anneau de Gauss (anneau où tout couple d'éléments possède un PGCD), et donc en particulier dans un anneau factoriel, premiers entre eux équivaut à indissolubles entre eux (donc irréductible équivaut à premier).


  • Dans un anneau de Bézout (anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal), et donc en particulier dans un anneau principal (comme \mathbb{Z} ou K[X]), les trois notions (étrangers, indissolubles entre eux, premiers entre eux) sont équivalentes (donc irréductible équivaut à premier équivaut à extrémal).
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