Polynôme de bernstein

Polynôme de bernstein

Polynôme de Bernstein

Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l'honneur du mathématicien ukrainien S. Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive du théorème de Stone-Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la formulation générale des courbes de Bézier.

Description

Pour un degré m, il y a m+1 polynômes de Bernstein B^m_0,\dots,B^m_m définis, sur l'intervalle [0,1], par

B_i^m(u) = \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} u^i \left( 1-u \right)^{m-i},

où les \begin{pmatrix} m \\ i \end{pmatrix} sont les coefficients binomiaux.

Ces polynômes présentent quatre propriétés importantes :

  1. Partition de l'unité : \qquad \sum_{i=0}^m B_i^m(u) = 1, \qquad \forall u \in [0,1]
  2. Positivité : B_i^m(u) \geq 0, \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m
  3. Symétrie : B_i^m(u) = B_{m-i}^m(1-u), \qquad \forall u \in [0,1], \forall i \in 0 \dots m
  4. Formule de récurrence : 
B_i^m(u) =
\begin{cases}
(1-u)B_i^{m-1}(u),& i = 0\\
(1-u)B_i^{m-1}(u) + u B_{i-1}^{m-1}(u),&\forall i \in 1 \dots m-1\\
uB_{i-1}^{m-1}(u),& i = m
\end{cases}
, \qquad \forall u \in [0,1]
.

On notera la grande ressemblance des polynômes avec la loi binomiale.

Exemple de polynômes de Berstein de degré 3

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Polyn%C3%B4me de Bernstein ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Polynôme de bernstein de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Polynome de Bernstein — Polynôme de Bernstein Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l honneur du mathématicien ukrainien S. Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive du théorème de Stone Weierstrass. Ils sont également utilisés dans la… …   Wikipédia en Français

  • Polynôme de Bernstein —  Ne doit pas être confondu avec Polynôme de Bernstein Sato (en) Les polynômes de Bernstein, nommés ainsi en l honneur du mathématicien ukrainien S. Bernstein, permettent de donner une démonstration constructive du théorème de Stone… …   Wikipédia en Français

  • Bernstein — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sommaire 1 Patronyme 2 Toponymes 3 Lieux …   Wikipédia en Français

  • Bernstein-Polynom — Die Bernsteinpolynome sind eine Familie reeller Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Sie haben ihren Ursprung in der Approximationstheorie. Mit ihrer Hilfe konnte ihr Entdecker Sergei Natanowitsch Bernstein im Jahre 1911 einen konstruktiven… …   Deutsch Wikipedia

  • Polynôme de Lagrange — Interpolation lagrangienne En analyse numérique, les polynômes de Lagrange, du nom de Joseph Louis Lagrange, permettent d interpoler une série de points par un polynôme qui passe exactement par ces points appelés aussi nœuds. Cette technique d… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Bernstein — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Plusieurs théorèmes sont dus à divers mathématiciens portant le nom de Bernstein  . Sergeï Natanovitch Bernstein : théorème de Bernstein sur les …   Wikipédia en Français

  • Sergei Natanovitch Bernstein — Sergeï Natanovitch Bernstein Pour les articles homonymes, voir Bernstein. Sergeï Natanovitch Bernstein. Sergeï Natanovich Bernstein ( …   Wikipédia en Français

  • Sergueï Natanovitch Bernstein — Sergeï Natanovitch Bernstein Pour les articles homonymes, voir Bernstein. Sergeï Natanovitch Bernstein. Sergeï Natanovich Bernstein ( …   Wikipédia en Français

  • Sergeï Natanovitch Bernstein — Pour les articles homonymes, voir Bernstein. Sergeï Natanovitch Bernstein. Sergeï Natanovich Bernstein (russe : Сергей Натанович Бернштейн, parfois o …   Wikipédia en Français

  • Liste spezieller Polynome — Die folgenden Polynome sind in verschiedenen Teilbereichen der Mathematik von besonderer Bedeutung. Alexander Polynom (Knotentheorie) Bell Polynom Bernoulli Polynom Bernstein Polynom (Numerik) Bernstein Sato Polynom charakteristisches Polynom… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”