Pentagone régulier

Pentagone (figure)

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Un pentagone est un polygone à cinq sommets et cinq côtés.

Pentagone régulier

Un pentagone régulier est un pentagone dont tous les côtés sont de même longueur et dont tous les angles internes valent 108°.

L'aire A d'un pentagone régulier de côté a vaut $A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} = \frac {a^2}{4} \sqrt{15+20\varphi} \simeq 1,72048 a^2$

Si on trace les diagonales d'un pentagone régulier, on obtient un pentagramme. Le pentagone est très lié au nombre d'or. En effet, dans la figure ci-contre, on peut déceler de nombreux triangles d'or obtus (comme ceux formés par deux côtés et une diagonale) ou aigus (comme ceux formés par deux diagonales et un côté). Le découpage fait aussi apparaître de nouveaux triangles d'or dont la taille a été divisée par φ ainsi qu'un nouveau pentagone dont la taille est divisée par φ².

Construction

Pentagone obtenu en faisant un nœud avec une feuille rectangulaire.

Article détaillé : Construction du pentagone régulier à la règle et au compas.

Il est possible de construire un pentagone régulier à la règle et au compas.

Une méthode par pliage simple permet de faire un pentagone. Il suffit de prendre une bande de papier suffisamment longue et faire une boucle, puis de passer un bout dans la boucle et enfin serrer en ajustant. Une explication se trouve ici

Voir aussi

• Livre IV des Éléments d'Euclide

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