Paradoxe de Banach-Tarski

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le paradoxe de Banach-Tarski est un théorème, démontré en 1924 par Stefan Banach et Alfred Tarski, qui affirme qu'il est possible de couper une boule de l'espace usuel {}^{\R^3} en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première, à un déplacement près. Ce résultat paradoxal implique que ces morceaux soient non mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction (le volume étant un exemple de mesure, cela veut plus simplement dire que ces morceaux n'ont pas de volume).

Le paradoxe de Banach-Tarski se généralise à tous les {}^{\R^n, n \geq 3}, mais ne peut se réaliser dans le plan {}^{\R^2}.

La démonstration de ce résultat utilise l’axiome du choix, nécessaire pour construire des ensembles non mesurables.

Illustration du paradoxe de Banach-Tarski

Sommaire

Préliminaires

Le groupe des déplacements (ou isométries affines directes) de {}^{\R^3} est l’ensemble de toutes les translations et rotations (autour d'un axe) et de leur composées, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les manières de prendre une figure dans l’espace et de la déplacer ou de la faire tourner sur elle-même sans la déformer (et en particulier sans changer sa taille). Un déplacement peut se voir comme une fonction mathématique g et une figure comme un ensemble de points E. Dire qu’il existe un déplacement g tel que g(E) = F, c’est simplement dire que E et F ont la même forme et la même taille, bref qu’ils sont identiques à leur position près.

Deux ensembles sont donc équidécomposables si on peut couper le premier en morceaux et reconstruire le deuxième simplement en déplaçant les morceaux (c’est-à-dire en leur appliquant un déplacement). Un ensemble est dédoublable s’il est équidécomposable à une « moitié » de lui-même.

Une mesure est en gros une fonction mathématique qui satisfait aux mêmes conditions qu’une longueur. C’est donc une généralisation de la longueur (ou du volume). Un bon exemple de mesure est la mesure de Lebesgue : si on veut mesurer un intervalle, on prend sa longueur et si on a un ensemble « en plusieurs morceaux », on prend la somme de la longueur de chacun des morceaux. Par exemple, si deux bouteilles d’un litre de vin sont posées à deux endroits différents, physiquement il y a deux objets distincts. C’est ici que le volume montre « ses limites ». Mais mathématiquement on peut considérer que ces deux bouteilles ne forment qu’un seul et même objet dont le volume est 2 litres. C’est un exemple de mesure.

Plus généralement, la mesure d'un « objet » vide vaut 0, alors que la mesure d'un ensemble constitué de plusieurs « objets » est la somme des mesures de chacun des objets. Ce qu'affirme ce paradoxe, c’est qu’on peut « construire » – mais à l'aide de l'axiome du choix, donc de façon non effective – des ensembles suffisamment « tordus » pour qu’on ne puisse pas les mesurer, c’est-à-dire qu’on ne peut pas leur associer une valeur en général (ou un volume ou une longueur en particulier) sans violer les deux propriétés évoquées plus haut. Plus précisément, si on essaie de trouver une manière de leur associer un volume, on peut prouver qu’en continuant d’appliquer cette méthode, on trouvera une partie qui a le même volume que le tout, ce qui est absurde. Donc, il faut reconnaitre que le volume d’un tel ensemble n’existe pas.

Le paradoxe affirme que l’on peut dédoubler une boule dès l’instant qu’on passe par une étape où elle est coupée en morceaux non mesurables, où le volume perd son sens. Par la suite, on peut réassembler ces morceaux en un objet « plus gros » sans avoir à dire que cet objet et la boule de départ ont le même volume puisque le volume du résultat n’est pas la somme des volumes des morceaux.

Énoncé plus précis

Soit G un groupe de transformations d'un ensemble E. Deux parties A et B de E sont dites équidécomposables (suivant G) s’il existe deux suites finies d’ensembles \scriptstyle(F_n)_{n\in I} et \scriptstyle(H_n)_{n\in I} telles que :

  • \bigcup_{n\in I} F_n = A
  • \bigcup_{n\in I} H_n = B
  • \forall i,j \in I\quad\text{tels que}\quad i\ne j,\quad F_i\cap F_j= H_i\cap H_j=\varnothing
  • \forall n \in I, \exists g \in G\quad\text{tel que}\quad g(F_n)=H_n.

Les trois premières conditions équivalent à dire que les deux suites sont des partitions de A et B. Par exemple, tout parallélogramme est équidécomposable à un rectangle. L’équidécomposabilité est une relation d'équivalence : elle est symétrique, réflexive et transitive. À noter ici qu’il n'est pas intéressant d’inclure les homothéties dans G. On prend donc généralement le groupe des isométries. On parvient même ici à se limiter aux isométries directes (engendrées par les translations et rotations).

Un ensemble C est dit « dédoublable » s’il existe deux ensembles A et B tels que {}^{C = A\sqcup B} (réunion disjointe) et tels que A, B et C soient équidécomposables.

Démontrer le résultat de Banach-Tarski revient à montrer que la boule unité de {}^{\R^3} est dédoublable suivant le groupe des déplacements de {}^{\R^3}.

Il faut enfin remarquer le rôle essentiel joué dans ce résultat par la non-commutativité du groupe des isométries vectorielles directes de l'espace : on démontre que le paradoxe n'est pas possible dans le plan.

Voir aussi

Bibliographie

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