Argument de l'apocalypse

The Doomsday Argument, traduit par l’argument de l’Apocalypse[1], est une énigme mettant en jeu les probabilités conditionnelles. Elle est célèbre pour avoir résisté pendant de longues années à toutes les analyses et suscite encore aujourd'hui de nombreuses controverses.

Sommaire

Description

"The Doomsday Argument", créé en 1983, est attribué à l’astrophysicien Brandon Carter. On raconte qu’il fut tellement surpris par sa propre énigme qu’il renonça au dernier moment à la présenter en public lors d’une conférence. Le philosophe canadien John A. Leslie (http://en.wikipedia.org/wiki/John_A._Leslie ) étudia cette énigme, la rendant populaire dans les années 1990 et publia un ouvrage à son sujet[2]. D’après lui, toutes les réfutations (plusieurs milliers affirment certains !) qu’il avait pu voir étaient infondées.

L’énigme

Deux hypothèses sont en concurrence : la théorie A affirme que l’humanité disparaitra en 2150, et la théorie B affirme que cela sera beaucoup plus tard. Toujours selon l’hypothèse A, un humain sur 10 aura connu l’an 2000 (c’est-à-dire que l’humanité aura compté 50 milliards d’individus depuis son origine). L’hypothèse B affirme qu’un humain sur mille aura connu l’an 2000 (et l’humanité aura compté le chiffre astronomique de 5 000 milliards de personnes). La théorie A semble la moins probable : on lui associe la probabilité a priori de 1 %, tandis que la théorie B bénéficie d’une probabilité de 99 %. Maintenant, considérons un événement, par exemple que vous faites partie des 5 milliards d’individus qui ont connu l’an 2000. On peut se demander « Quelle est l’hypothèse la plus probable, sachant cet événement ? » et appliquer la formule de Bayes. Cette formule donnerait un résultat inquiétant et étrange : l’hypothèse A grimperait à 50,25 % et B chuterait à 49,75 % !

P(A\mid E) = \frac{P(E\mid A).P(A)}{P(E)}

On applique les hypothèses :

P(E\mid A) = 10%
P(E\mid B) = 0,10%
 P(A ) = \frac {1}{100}
P(B ) = \frac {99}{100}
P(E ) = P(E \cap A) + P (E\cap B) = P(E\mid A).P(A) + P(E\mid B).P(B)=\frac{19,9}{10 000}

On aboutit à :

P(A\mid E) = \frac{10}{19,2}=50,25%
P(B\mid E) = \frac{9,9}{19,2}=49,75%

Ce n'est plus un glissement bayésien mais un dérapage ! La fin du monde serait toute proche, seulement en prenant un individu au hasard ? Où est l’astuce ?


Solution proposée

Jean-Paul Delahaye présente le problème en dans[3] . Mais il faut attendre juillet 2003 pour converger vers une réponse satisfaisante[4]. Il analyse différents paradoxes et démontre que la formule de Bayes y introduit des « anamorphoses probabilistes ». Le lecteur peut constater avec l'auteur que la formule de Bayes est sujette aux erreurs fallacieuses (erreurs faites de bonne foi par celui qui l’utilise).

En septembre 2010, Philippe Gay et Édouard Thomas[5] proposent un raisonnement similaire pour ce paradoxe. La prise en compte de chaque hypothèse demande à la fois l’estimation de son apparition et le nombre de personnes impliquées. La formule de Bayes redonne les hypothèses de départ, ce qui est normal, car l’événement ajouté ne procure aucune information susceptible de provoquer un glissement bayésien. Pour Gay et Thomas, le paradoxe met en œuvre un phénomène de pondération (Philippe Gay et Édouard Thomas[5]) ou de loupe (Jean-Paul Delahaye[4]). Il faut tenir compte du nombre d’humains impliqués par chacune des hypothèses, si l’on considère l’un d’eux choisi au hasard. Suivant Philippe Gay et Édouard Thomas[5] :

P(B\mid E) = \frac{0,1%. 5.10^{12} .99%}{0,1%. 5.10^{12} .99% +10%.50.10^{9} .1%} = \frac{99%}{99% + 1%} =99%=P(B)

De façon similaire, on obtient aussi :

P(A\mid E) = \frac{1%}{99% + 1%} = 1%=P(A)

Conclusion

On retrouve l’hypothèse de départ et la formule de Bayes « redevient » cohérente ! Selon les auteurs, il n’y a plus de paradoxe.

Épilogue

En poussant plus loin l'analyse, Philippe Gay [6] démontre que ce type d'erreur fallacieuse est possible avec quantité de problèmes n'ayant aucun lien avec l'avenir de l'Humanité. Avec un peu d'humour, il tisse un lien avec une recette de cuisine et la durée d'un orage. Il invite chacun à inventer d'autres paradoxes similaires.

Notes et références

  1. "Doomsday" signifie "Jour dernier". Et "argument" : "débat". Les traductions françaises sont depuis longtemps figées, mais ne sont pas exactes, car "apocalypse" signifie "révélation" en grec. "Paradoxe de l'Apocalypse" est moins faux.
  2. John A. Leslie, The End of the World: the Science and Ethics of Human Extinction, 1996
  3. Jean-Paul Delahaye, Logique, informatique et paradoxes ; Belin ; Pour la science ; pp. 30 à 32 » (http://www2.lifl.fr/~delahaye/pls/1993/015)
  4. a et b Jean-Paul Delahaye ; La Belle au bois dormant, la fin du monde et les extraterrestres. Pour la science. N°309. Juillet 2003 (http://www2.lifl.fr/~delahaye/pls/2003/107)
  5. a, b et c Philippe Gay et Édouard Thomas ; "Détournements de Bayes", Tangente, n°136, Septembre-Octobre 2010
  6. Philippe Gay ; "L’Argument de l’Apocalypse… selon la Répression des Fraudes", Image des mathématiques (CNRS), 13 août 2011 (http://images.math.cnrs.fr/L-Argument-de-l-Apocalypse-selon.html)


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