Arctg

Fonction arctangente

Représentation graphique

La fonction arctangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-½π; ½π[. Notée naguère arctg, elle se note désormais \textbf{arctan}. La notation tan − 1, souvent utilisée sur les calculatrices de poche, est à proscrire, car elle prête à confusion avec le rapport 1 / tan.

Concrètement, si x appartient à ]-½π ; ½π[ et y appartient à \R :

y = \tan x \Leftrightarrow x = \arctan y

La courbe représentative de la fonction arctangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ]-½π ; ½π[ par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.

Sommaire

Développement en série de Taylor

Le développement en série de Taylor de la fonction arctangente est :


\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots

Cette série entière converge quand |x|\le 1 et x\neq\pm i. La fonction arctangente est cependant définie sur tout \R.

Le développement en série peut être utilisé pour effectuer un calcul approché du nombre π : la formule la plus simple est le cas x = 1, appelée formule de Leibniz

\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+-\ldots

La formule de Machin, plus sophistiquée,

\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}

fut utilisée par John Machin en 1706 pour calculer les 100 premières décimales de π et par William Shanks en 1873 pour calculer les 707 premières décimales, sur lesquelles seules 527 étaient justes.

Équation fonctionnelle

De arctan(1x) on peut déduire arctan(x) et inversement :

\forall x\in{\R_+^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= \frac{\pi}{2}
\forall x\in{\R_-^*},\ \arctan \frac{1}{x} + \arctan x= -\frac{\pi}{2}

Ces équations fonctionnelles peuvent se prouver par exemple en montrant que la dérivée est nulle. On a :

\arctan'(x) =  \frac{1}{1+x^2}

et

\left(\arctan\frac{1}{x}\right )' =  \frac{-1}{x^2} \cdot \frac{1}{1+{\frac{1}{x^2}}} = \frac{-1}{1+x^2}

donc

\left(\arctan \frac{1}{x} + \arctan x\right)' =  0

On en déduit que arctan(1x) + arctan(x) est constante par morceau sur chaque intervalle de son ensemble de définition, et on trouve facilement la valeur de cette constante en calculant la valeur prise en x = 1 et x = − 1.

Fonction réciproque

Par définition, la réciproque  \left] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right[,\ y = \arctan x \Leftrightarrow x = \tan y

Dérivée

\arctan'(x) =  \frac{1}{1+x^2}

que l'on démontre très facilement en dérivant les 2 membres de la relation : tan(arctan(x)) = x

Logarithme complexe

On peut exprimer la fonction arctangente par un logarithme complexe :

\arctan(x) = \frac{1}{2\mathrm i} \ln\left(\frac{1+\mathrm ix}{1-\mathrm ix}\right)

Intégration

Primitive

La primitive de la fonction arctangente est

\int \arctan(x)\;\mathrm dx = x \cdot \arctan x  - \frac{1}{2} \ln\left(1 + x^2\right)

Utilisation de la fonction arctangente

La fonction arctangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme

\frac1{ax^2+bx+c}

Si le discriminant D = b2 − 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est négatif, on peut faire la substitution par

u=\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}

qui donne pour l'expression à intégrer

\frac{4a}{|D|}\cdot\frac1{1+u^2}

L'intégrale est alors

\frac{2}{\sqrt{|D|}} \arctan\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{|D|}}\right)

Formule remarquable

Nous avons la formule suivante :

\arctan\left(\frac{1}{x+1}\right) + \arctan\left(\frac{x}{x+2}\right) = \frac{\pi}{4}.


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