Notion de masse ajoutee

Notion de masse ajoutée

Selon la seconde loi de Newton, une force F appliquée à un corps de masse M lui communique une accélération a telle que

$F = M\,a\,$

Cette loi suppose que le corps est dans le vide et elle s'applique approximativement s'il se trouve dans un fluide dont la masse volumique est faible par comparaison avec sa propre masse volumique. Si le corps se trouve dans l'eau, ou plus exceptionnellement dans l'air (cas des dirigeables), la force est partiellement utilisée pour communiquer une accélération aux particules fluides :

$F = M\,a + \Delta F\,$

S'il n'y a pas de perte d'énergie dans des tourbillons ou dans la turbulence (écoulement irrotationnel), les équations deviennent linéaires. Si, de plus, on néglige la viscosité (fluide parfait), la correction est proportionnelle à l'accélération du corps, le coefficient de proportionnalité M_a étant défini comme la masse ajoutée du corps :

$F = (M + M_a) a\,$

Cette masse ajoutée est proportionnelle à la masse volumique ρ du fluide, le coefficient de proportionnalité étant un volume. On exprime celui-ci comme le produit d'un volume de référence V, qui est souvent le volume occupé par le corps, multiplié par un coefficient de masse ajoutée K :

$M_a = K\, \rho\,V$

Ces considérations décrivent correctement la réalité tant que l'excursion reste petite par comparaison avec les dimensions du corps. Dans ce cas, il est possible de calculer analytiquement le coefficient de masse ajoutée s'il a une forme géométrique simple (1 pour le cylindre à section circulaire, ½ pour la sphère). Pour un corps de forme quelconque, on peut obtenir une excellente approximation par des méthodes numériques.

Lorsque l'excursion est assez importante pour qu'un sillage tourbillonnaire, voire turbulent, puisse se créer, le problème est beaucoup plus compliqué. On ne peut le résoudre qu'en utilisant des données expérimentales qu'il faut interpréter en termes de nombres sans dimension. Une méthode, qui peut donner de bons résultats si elle est utilisée soigneusement, consiste à considérer la force hydrodynamique comme la somme d'une force d'inertie dépendant de l'accélération selon la formule précédente et d'une force de traînée dépendant de la vitesse, cette dernière étant exprimée conformément au raisonnement décrit dans le lien précédent. Les coefficients de masse ajoutée et de traînée doivent alors être exprimés en fonction des résultats expérimentaux via des nombres sans dimension, incluant le rapport de l'excursion à une dimension caractéristique du corps.

Cas du fluide accéléré

Considérons un fluide, de masse volumique ρ, soumis à une accélération du/dt. Si on isole par la pensée une partie V du volume, celle-ci est accélérée par une force provenant du fluide extérieur :

$F_{FK} = \rho\,V {du \over dt}$

Un solide mis à la place du volume fluide subit cette même force, résultante des pressions dans le fluide non perturbé. Elle se nomme alors force de Froude-Krylov mais, si le solide est fixe, il s'y ajoute une force analogue à la force de masse ajoutée qui correspond à la déformation des filets fluides :

$F_D = K\, \rho\,V {du \over dt}$

(Le signe est correct pour cette force extérieure ; la force extérieure due à la masse ajoutée devait également apparaître au second membre de l'équation de la dynamique mais avec un signe moins.)

La force totale s'écrit donc, en ajoutant 1 au coefficient de masse ajoutée :

$F = C_M\, \rho\,V {du \over dt}$

Pour un déplacement du fluide important par rapport aux dimensions de l'obstacle, il faut corriger cette formule de manière analogue à ce qui a été fait lors de l'accélération du corps, mais un autre problème peut se poser. En effet, le cas d'une accélération identique dans toute une masse de fluide ne peut se rencontrer qu'exceptionnellement.

En particulier dans les vagues, les accélérations varient d'un point à un autre, la formule précédente n'est donc qu'une approximation valable pour des corps assez petits par rapport aux longueurs d'onde. Pour les corps de dimensions importantes, comme les navires, la formule est invalidée et il faut effectuer des calculs de diffraction, généralement sous forme numérique.

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