Notation Z

La notation Z est un langage de spécification utilisé pour décrire et modéliser les systèmes informatiques.

Historique

La notation Z a été créée par J.R. Abrial. Z est apparu pour la première fois dans un livre, lors de l'édition en 1980 de l'ouvrage de Meyer et Baudouin, Méthodes de programmation, Eyrolles. Il n'existait alors que des notes de Jean-Raymond Abrial, internes à EDF. Elles faisaient suite à l'article qu'il avait publié en 1974, intitulé Data Semantics in Data Base Management (Kimbie, Koffeman, eds, North-Holland, 1974, pp. 1-59).

En 1983, Delobel et Adiba utilisent la notation Z d'origine dans leur livre « Bases de données et systèmes relationnels » (Dunod). Sous le nom de « modèle relationnel binaire », il leur sert à introduire le « modèle relationnel n-aire » de Ted Codd. Une notation graphique utilise ce modèle relationnel binaire, c'est NIAM (Nijssen Information Analysis Method), (H. Habrias, Le modèle relationnel binaire, Eyrolles, 1988) développée au sein de Control Data à Bruxelles.

J.R. Abrial a porté Z au Programming Group d'Oxford en septembre 1987.

J.R. Abrial a abandonné Z pour proposer la Méthode B dans les années 80.

La première norme internationale (ISO) sur Z a été publiée en juillet 2002.

Z en quelques mots

• Une spécification en Z est un prédicat. La spécification de l'invariant et la spécification des opérations ont la forme d'un prédicat.
• La spécification est structurée en schémas.
• Z utilise la théorie naïve des ensembles et la logique des prédicats d'ordre un.

Z par l'exemple

On utilise, quand c'est possible, la notation ASCII de B. On trouvera la correspondance avec la notation B à Méthode B.

Les ensembles de base

[ETUDIANT, GROUPE]

ETUDIANT, et GROUPE sont des types de base (les SETS de B)

Un schéma

Voici ce qu'en Z, on appelle des schémas :

 ______MaPetiteEcole______________
       promo : POW (ETUDIANT)
       aPourGroupe : ETUDIANT + → GROUPE
 _________________
       promo = dom (aPourGroupe)
_____________________________________

Un schéma a un nom, ici MaPetiteEcole, deux parties :

• celle du haut est appelée partie « typage ». On y déclare les variables et leur type.
  • Ici, promo appartient à l'ensemble des parties (on dit aussi, ensemble des sous-ensembles) de ETUDIANT.

Rappelons que POW({1, 2}) = { {}, {1}, {2}, {1,2} }

• • ETUDIANT + → GROUPE est l'ensemble des fonctions partielles de ETUDIANT vers GROUPE. Ce qui se paraphrase : un étudiant est membre d'au plus un groupe.
  • Quand on passe d'une ligne à l'autre, implicitement on écrit une conjonction.
• celle du bas est appelée partie « prédicative » (remarquons que la partie haute est aussi constituée de prédicats !...de typage)
  • Ici, on a un prédicat d'égalité qui se paraphrase : l'ensemble des étudiants de la promo est égal au domaine de la fonction aPourGroupe, ce qui en français courant donne : «  tout étudiant de la promo est membre d'un groupe ».

Un schéma d'opération

_____Inscription__________________
       Δ MaPetiteEcole
       nouvEtud ? : ETUDIANT
       gpe ? : GROUPE
________________
        nouvEtud ? /: promo
       promo' = promo \/ {nouvEtud ? |→ gpe ?}
_____________________________________

Δ déclare : promo, promo', aPourGroupe, aPourGroupe'. Le prime exprime l'état après l'opération.

Attention !

Vous avez bien lu. Ci-dessus, nous avons écrit = (prédicat d'égalité) et non := (substitution). Un schéma est un prédicat. Le saut de ligne exprime une conjonction (⩓).
Le schéma Inscription donne le prédicat qui doit être respecté par l'opération d'inscription.

Une opération d'interrogation

   ______ChercherGroupe________________ 
       Χ MaPetiteEcole 
       etud ? : ETUDIANT 
       grpe ! : GROUPE
   ________________
       etud ? : promo
       grpe ! : aPourGroupe (etud ?)
   _______________________________________

Χ déclare : promo, promo', aPourGroupe, aPourGroupe'et les contraintes :
promo = promo'
aPourGroupe' = aPourGroupe

Ce qui signifie qu'on ne veut pas que l'opération d'interrogation modifie l'état des données.

Un schéma va permettre de spécifier un état initial, lequel, comme en B, sert à s'assurer que l'on peut bien avoir un état satisfaisant les contraintes.

Schéma d'initialisation

   ______InitMaPetiteEcole________________
       MaPetiteEcole
   _____________________
       promo = { }
       aPourGroupe = { }
   ________________________________________

Un type libre

RAPPORT ::= ok | déjàConnu | nonConnu

RAPPORT est un type libre.

Schémas avec type libre

   ____Succès______________________________
       résultat! : RAPPORT
   ___________________
       résultat! = ok
   ________________________________________

   ____DéjàConnu___________________________
       KHI MaPetiteEcole
       etud ? : ETUDIANT
       résultat! : RAPPORT
   _______________________
       etud ? : promo
       résultat! = déjàConnu
   ________________________________________

Utilisation du schéma calculus

On va avoir une spécification robuste

   RInscription == (Inscription & Succès) or DéjàConnu

Il y a d'autres opérateurs que le & et le or pour le calcul de schémas.

etc.

Nous avons présenté des schémas fermés. Les déclarations sont locales à ces schémas.

Schémas ouverts

Il existe des schémas ouverts (description axiomatique) qui introduisent une ou plusieurs variables globales et éventuellement spécifient une contraintes sur leurs valeurs.

Exemple :

       carré : NAT → NAT
   _________________
       ! b: NAT • carré(n) = n * n

La notation Z pour la description des ensembles en compréhension

{...| ...• ...}

On distingue trois parties {déclaration | contrainte • expression }

exemple :

   {x : NAT | pair (x) • x * x} est l'ensemble des carrés des nombres pairs.

Les schémas comme types

On peut prendre un schéma comme type.

Un schéma est alors vu comme l'ensemble des états qui respectent le schéma. Une variable de type schéma peut alors prendre comme valeur un de ces états qui respectent le schéma indiqué comme type de la variable.

Généricité

Exemple

   =====[X, Y] ===================
       first : X * Y → X
   ___________________
       !x : X ; y : Y • first(x, y) = x
   _________________________________________

Bibliographie

En français, deux livres sur Z.

• David Lightfoot, Spécification formelle avec Z, Teknea, ISBN : 2-87717-038-1 traduit par Henri Habrias et Pierre-Marie Delpech (un petit livre d'introduction)
• J.M. Spivey, La notation Z, Masson, Prentice-Hall, ISBN : 2-225-84367-8 traduit par M. Lemoine (plus complet)

Voyez également

• Méthode formelle
• Méthode B

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